【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-19 轴对称与等腰三角形（基础）（教师版）

专题19 轴对称与等腰三角形（专题测试-基础）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．（2017·湖北中考模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（   ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．2．（2019·四川中考模拟）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）A．﹣5    B．﹣3    C．3    D．1【答案】D【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选D．3．（2018·云南中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(    )A．30° B．45° C．50° D．75°【答案】B【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．4．（2018·江苏中考真题）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.5．（2018·安徽中考模拟）如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=：A．31° B．45° C．30° D．59°【答案】A【解析】解：过点B作BE∥l1．∵l1∥l2，∴BE∥l1∥l2，∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．故选A．6．（2017·辽宁中考模拟）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．7．（2012·上海中考模拟）已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【详解】①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．8．（2017·厦门市中考模拟）等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是（　　   ）A．70° B．70°或20° C．70°或40° D．40°【答案】B【解析】分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①70°角是顶角时，三角形的顶角为70°，②70°角是底角时，顶角为180°﹣70°×2=40°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为70°或40°．9．（2012·浙江中考模拟）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）A．AE＝BE    B．AC＝BE    C．CE＝DE    D．∠CAE＝∠B【答案】B【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；D、根据C的证明过程．故该选项正确．故选B．10．（2016·山东中考模拟）如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（   ）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【答案】B【详解】由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=40海里．故选B．11．（2015·辽宁中考模拟）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（  ）A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm【答案】A【解析】∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，∴AD=CD，AE=CE=4cm，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵△ABC的周长为30cm，∴AB+BC+AC=30cm，∴AB+BC=30-4×2=22cm，∴△ABD的周长是22cm．故选A．12．（2019·广东中考模拟）点（3，2）关于x轴的对称点为A．（3，﹣2）    B．（﹣3，2）    C．（﹣3，﹣2）    D．（2，﹣3）【答案】A【解析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（3，－2）。故选A。二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．【答案】70【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为70.14．（2017·陕西中考模拟）如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=________．【答案】45°【解析】设∠EBD=x°，
∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．15．（2016·湖南中考真题）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．【答案】13【解析】已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，16．（2017·天津中考模拟）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为       【答案】等腰直角三角形。【解析】∵，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0。由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形。又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形。17．（2019·甘肃中考真题）在中，，则__________．【答案】70°【详解】∵AB＝AC,  ∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）18．（2019·重庆中考真题）如图，在中，，于点D．（1）若，求的度数；（2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：．【答案】（1）48°；（2）证明见解析.【详解】解：（1）∵，于点D，∴，，又，∴；（2）∵，于点D，∴，∵，∴，∴，∴．19．（2018·福建中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求证：FC=AD；（2）求AB的长.    【答案】（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm.【解析】（1）∵AD∥BC∴∠ADC=∠ECF ，∵E是CD的中点，∴DE=EC ，∵在△ADE与△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE(ASA) ，∴FC=AD ；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF ，∵BE⊥AE ，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF ，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).20．（2018·江苏中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　   　°．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为75．21．（2017·安徽中考模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（－1，4），C（－3，1）.(1)作出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；(2)写出点A′， B′，C′的坐标；(3)求△ABC的面积.【答案】（1）见解析；（2）（4，0），（﹣1，﹣4），（﹣3，﹣1）；（3）11.5．（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）；（3）△ABC的面积为：7×4﹣×2×3﹣×4×5﹣×1×7=11.5．