考点08 空间几何体压轴题汇总-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点08   空间几何体压轴题汇总

一、单选题（共15小题）

1.（2020•普陀区一模）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，高A1A＝4，E为棱A1A的中点，设∠BAD＝α，∠BED＝θ，∠B1ED＝γ，则α、β、γ之间的关系正确的是（　　）

A．α＝γ＞θ B．γ＞α＞θ C．θ＞γ＞α D．α＞θ＞γ

2.（2020•嘉定区一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是该正方体棱上一点．若满足|PB|+|PC1|＝m（m＞0）的点的个数为4，则m的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3.（2020秋•启东市期中）《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（　　）

A．8 B．16 C．24 D．28

4.（2020秋•南京月考）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB＝2，，PB与底面ABC所成的角的余弦值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（　　）

A． B． C．9π D．

5.（2020秋•泸州月考）已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，且△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（　　）

A．4π B． C．8π D．

6.（2020秋•广州月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝CC1＝，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为（　　）

A．π B．7π C．11π D．14π

7.（2020秋•扬州期中）已知一个球的半轻为3．则该球内接正六棱锥的体积的最大值为（　　）

A．10 B． C．16 D．

8.（2020秋•安徽月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的体积为，则正方体外接球的表面积为（　　）

A．24π B．36π C．48π D．96π

9.（2020秋•安徽月考）已知四面体A﹣BCD所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，若AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球O的表面积为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．12π

10.（2020秋•道里区校级月考）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，AB＝AC＝1，，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

11.（2020•山东模拟）已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

12.（2020•安徽模拟）已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD＝8（如图1），现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置．棱AC，PD的中点分别为E，F，且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段EF长度的取值范围为（　　）

A．（，4） B．（1，） C．（，6） D．

13.（2020•湖北模拟）已知P，A，B，C是半径为3的球面上四点，其中PA过球心，，则三棱锥P﹣ABC的体积是（　　）

A． B．2 C． D．

14.（2020•安徽模拟）如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB+AD＝10，BD＝8．沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值为（　　）

A．12 B．12 C． D．

15.（2020秋•汕尾期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝4，B1D与平面ABCD夹角的正弦值为，M为线段AA1的中点，点N在线段AD上，且AN＝2，S∈平面A1B1C1D1．若V三棱锥S﹣BMN＝V，记直线SC与CC1的夹角为θ．则tanθ的最小值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共10小题）

16.（2020•山东模拟）A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为2和4，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是　　．

17.（2020•山东模拟）已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　　．

18.（2015秋•淮南期末）已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为　　　　　　．

19.（2020•奉贤区一模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是　　．

20.（2020秋•北海月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为　　．

21.（2020秋•余姚市校级月考）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为　　，此时三柱的底面面积为　　．

22.（2020秋•潍坊期中）如图，已知菱形ABCD边长为3，∠BAD＝60°，点E为对角线AC上一点，AC＝6AE．将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′，且二面角A′﹣BD﹣C的大小为120°，则三棱锥A′BCD的外接球的半径为　　；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为　　．

23.（2020秋•滕州市期中）已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为　　．

24.（2020秋•郊区校级期中）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为　　．

25.（2020•南昌三模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝　　；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为　　．

三、解答题（共10小题）

26.（2020•金山区一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为．

（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V；

（2）若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．

27.（2020•松江区一模）如图1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．

（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积和表面积．

28.（2020秋•香坊区校级期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB＝BE＝2，AF＝1．

（1）求证：AC⊥平面BDE；

（2）求三棱锥A﹣DEF的体积．

29.（2020•崇明区一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB＝BC＝2．

（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；

（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

30.（2020秋•鸡冠区校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝，CD＝2．

（1）证明：PC⊥平面PAD；

（2）求三棱锥D﹣PAB的体积．

31.（2020秋•武侯区校级月考）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥体A﹣CDE的体积．

32.（2020秋•本溪月考）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．

（1）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；

（2）若CD＝2，AA1＝λAC（λ＞0），二面角A﹣C1D﹣C的正切值为2，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．

33.（2020秋•松山区校级月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，AC＝2，BC＝4，AA1＝6，D为线段AB的中点，E为线段BB1的中点，F为线段A1C的中点．

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．

34.（2020•德阳模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．

（1）求证：DM∥平面PBC；

（2）若AB＝2，PD⊥PB，求三棱锥P﹣BDM的体积．

35.（2020春•宝山区校级期末）如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．

（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；

（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；

（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？