广西北海市2020-2021学年高一下学期期末考试教学质量检测数学试题（含答案与解析）

这是一份广西北海市2020-2021学年高一下学期期末考试教学质量检测数学试题（含答案与解析），共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若α是第二象限角，则180°﹣α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．已知直线，则该直线的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
3．为了调查青春期学生的身高变化情况，某个高级中学从在校学生中采用分层抽样抽取男生和女生各10人，记录了他们的身高，其数据（单位：cm）如茎叶图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．男生身高的极差为25
B．男生身高的均值为177.2
C．男生的身高方差比女生的身高方差小
D．女生身高的中位数为166
4．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0或﹣1D．﹣1或1
5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥
B．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
C．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
D．取一根3米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于1米的概率是
7．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（ ）
A．36B．45C．55D．66
8．已知变量x与y线性相关，由观测数据算得样本的平均数，，线性回归直线l的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与y正相关
B．直线l恰好过点（2，3）
C．与x是函数关系
D．若x每增加一个单位，值一定增加个单位
9．已知半径为的圆M与圆x2+y2＝5外切于点P（1，2），则点M的坐标为（ ）
A．（﹣6，3）B．（3，6）C．（﹣3，﹣6）D．（6，3）
10．如图，将2个全等的三角板拼成一个平面四边形ABCD，若AB＝1，AC＝2，AD⊥CD，点P为AB边的中点，连接CP，DP，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x+π）＝﹣f（x）
B．的图象关于原点对称
C．若，则f（x1）＜f（x2）
D．存在x1，x2，，使得f（x1）+f（x2）≤f（x3）
12．已知△ABC外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且．若＝，则sin∠BOG＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面向量，的夹角为60°，若||＝2，||＝1，则|﹣2|＝ ．
14．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．
15．已知圆心C在直线x+2y﹣1＝0上，且该圆经过（3，0）和（1，﹣2）两点，则圆C的标准方程为 ．
16．已知点A，B，C是函数的图象和函数的图象的连续三个交点，若△ABC周长的最大值为，则ω的取值范围为 ．
三、解答题:共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知向量，．
（1）若，求m；
（2）若在方向上的投影为，求m．
18．已知．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）设函数，求函数g（x）的单调增区间．
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5＝0．
（1）求过点（5，1）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，4），P是圆C上的动点，求△ABP面积的最大值．
20．函数f（x）＝Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）把f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足≤的x的取值集合．
21．现代医院使用的市值较高、体积较大的医疗设备有CT，核磁共振、DR系统、CR、工频X光机、推车式B型超声波诊断仪，体外冲击波碎石机、高压氧舱、直线加速器等．这些医疗器械的日常维护费用高，某科研团队对某医院的CT医疗设备的使用年限x（单位：年）与维护维修费用y（单位：万元）的统计数据如表所示：
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；
（2）求y关于x的线性回归方程，当该种机械设备维护维修费用是15.5万元时，试估计使用年限．
可能用到的公式和数据：r＝，当r∈（0.75，1]时，表明y与x的相关性很强；当r∈（0.30，0.75]时，表明y与x的相关性一般；当r∈[0，0.30]时，表明y与x的相关性很弱．＝，＝﹣．＝139，＝145，＝135．
22．某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；
（2）为了进一步了解用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．
（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？
（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．
参考答案
一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.
1．若α是第二象限角，则180°﹣α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
解：不妨令α＝，则 ＝，为第一象限角，
故选：A．
2．已知直线，则该直线的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
解：，所以α＝60°．
故选：B．
3．为了调查青春期学生的身高变化情况，某个高级中学从在校学生中采用分层抽样抽取男生和女生各10人，记录了他们的身高，其数据（单位：cm）如茎叶图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．男生身高的极差为25
B．男生身高的均值为177.2
C．男生的身高方差比女生的身高方差小
D．女生身高的中位数为166
解：男生的极差是192﹣167＝25，故A正确；
男生身高的平均值为，故B正确；
女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，故C错误；
女生身高的中位数为166，故D正确．
故选：C．
4．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0或﹣1D．﹣1或1
解：由点到直线的距离公式，可得，
解得a＝1或a＝﹣1．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象，
可得A＝2，，所以ω＝2．
又，即，从而．
因为，所以，
故选：A．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥
B．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
C．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
D．取一根3米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于1米的概率是
解：对于选项A，“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生，故A选项正确，
对于选项B，每一次出现正面朝上的概率相等都是．故B选项正确，
对于选项C，样本数据x1，x2，…，x10，其标准差，则s2＝64，而样本数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为22×64，其标准差为．故C选项正确，
对于选项D，记事件A＝“剪得的两段的长度都不小于1米”，要想剪得的两段的长度都不小于1米，则剪断的地方只能位于中间长度为1米的部分，所以．故D选项错误．
故选：A．
7．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（ ）
A．36B．45C．55D．66
解：由题意知S＝0+1+2+3+⋯+10＝55．
故选：C．
8．已知变量x与y线性相关，由观测数据算得样本的平均数，，线性回归直线l的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与y正相关
B．直线l恰好过点（2，3）
C．与x是函数关系
D．若x每增加一个单位，值一定增加个单位
解：由题意知，所以，A正确．
若x每增加一个单位，值增加个单位．直线l恰好过点（3，4）；与x是一种非确定关系，所以B，C，D均错误．
故选：A．
9．已知半径为的圆M与圆x2+y2＝5外切于点P（1，2），则点M的坐标为（ ）
A．（﹣6，3）B．（3，6）C．（﹣3，﹣6）D．（6，3）
解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），
因为圆x2+y2＝5的圆心为O（0，0），半径r＝，
由圆M与圆x2+y2＝5外切于点P（1，2），得M、P、O三点共线且|OM|＝3，
即，
解得或（不合题意，舍去）；
所以点M的坐标为（3，6）．
故选：B．
10．如图，将2个全等的三角板拼成一个平面四边形ABCD，若AB＝1，AC＝2，AD⊥CD，点P为AB边的中点，连接CP，DP，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：连接DB，以DB所在边为x轴，AC所在边为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，所以．
故选：A．
11．已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x+π）＝﹣f（x）
B．的图象关于原点对称
C．若，则f（x1）＜f（x2）
D．存在x1，x2，，使得f（x1）+f（x2）≤f（x3）
解：函数．
选项A：f（x）的最小正周期，故∀x∈R，f（x+π）＝f（x）．故A错误；
选项B：，其图象关于点（0，1）对称，故B错误；
选项C：时，2x﹣），所以函数在上单调递增．故C正确；
选项D：因为，所以，∴f（x）]，又，即2f（x）min＞f（x）max，
所以x1，x2，，f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，故D错误．
故选：C．
12．已知△ABC外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且．若＝，则sin∠BOG＝（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，设BC的中点为D，
若，则G为△ABC的重心，则，
若＝，则，所以A，G，O，D四点共线，故AB＝AC，则AD⊥BC，
不妨令AD＝5，则AO＝BO＝4，OD＝1．所以．
故选：C．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面向量，的夹角为60°，若||＝2，||＝1，则|﹣2|＝ 2 ．
解：∵的夹角为60°，；
∴；
∴．
故答案为：2．
14．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 27 ．
解：高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，
现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本，
样本间隔为：＝8，
∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，
∴还有一个同学的学号应为19+8＝27．
故答案为：27．
15．已知圆心C在直线x+2y﹣1＝0上，且该圆经过（3，0）和（1，﹣2）两点，则圆C的标准方程为 （x﹣1）2+y2＝4 ．
解：方法一：（3，0）和（1，﹣2）两点的中垂线方程为：x+y﹣1＝0，
圆心必在弦的中垂线上，联立得C（1，0），半径r＝2，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4；
方法二：设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题得：，解得，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．
16．已知点A，B，C是函数的图象和函数的图象的连续三个交点，若△ABC周长的最大值为，则ω的取值范围为 ．
解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB＝BC，即△ABC为等腰三角形，
三角函数的周期，
且AC＝T，取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，，
由，
得，
得，
得，得，
则，
即A点纵坐标为1，则BM＝2，，，解得T≤4，即，得，
即ω的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题:共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知向量，．
（1）若，求m；
（2）若在方向上的投影为，求m．
解：（1）∵，，
∴2+＝（4+m，3﹣m），＝（2﹣2m，﹣1+2m），
∵，
∴（4+m）（2﹣2m）+（3﹣m）（﹣1+2m）＝0，化简得4m2﹣m﹣5＝0，
解得m＝﹣1或．
（2）∵在方向上的投影为，
∴＝，
∵，，
∴＝（2+m，2﹣m），||＝，
∴，
解得m＝﹣1．
18．已知．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）设函数，求函数g（x）的单调增区间．
解：（1）结合诱导公式得＝，
∴f（x）＝﹣2csx．
（2）根据（1）得到：，
结合，k∈Z，得，k∈Z，
∴函数g（x）的单调增区间为（k∈Z）．
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5＝0．
（1）求过点（5，1）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，4），P是圆C上的动点，求△ABP面积的最大值．
解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x﹣5＝0，得（x﹣2）2+y2＝9，
则圆心为C（2，0），半径r＝3．
当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝5与圆C相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+1＝0．
∵直线l：kx﹣y﹣5k+1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝9相切，
∴圆心C（2，0）到直线l的距离，
解得，此时直线l的方程为4x+3y﹣23＝0．
综上，直线l的方程是x＝5或4x+3y﹣23＝0；
（2）由A（﹣4，0），B（0，4），
得，
圆心C（2，0）到直线AB：x﹣y+4＝0的距离，
∴△ABP面积的最大值．
20．函数f（x）＝Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）把f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足≤的x的取值集合．
解：（1）由图像过最低点（），可得A＝1，
T＝＝2π，故，，
∵，
∴，
又∵|φ|＜，
∴，
故A＝1，，．
（2）由（1）得，
将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），可得函数的图象，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，即，可得，
，k∈Z或，k∈Z，
解得，k∈Z或，k∈Z，
故所求x的取值集合为．
21．现代医院使用的市值较高、体积较大的医疗设备有CT，核磁共振、DR系统、CR、工频X光机、推车式B型超声波诊断仪，体外冲击波碎石机、高压氧舱、直线加速器等．这些医疗器械的日常维护费用高，某科研团队对某医院的CT医疗设备的使用年限x（单位：年）与维护维修费用y（单位：万元）的统计数据如表所示：
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；
（2）求y关于x的线性回归方程，当该种机械设备维护维修费用是15.5万元时，试估计使用年限．
可能用到的公式和数据：r＝，当r∈（0.75，1]时，表明y与x的相关性很强；当r∈（0.30，0.75]时，表明y与x的相关性一般；当r∈[0，0.30]时，表明y与x的相关性很弱．＝，＝﹣．＝139，＝145，＝135．
解：（1）由表知＝，＝，
结合，，，
相关系数r＝＝．
所以认为y与x线性相关性很强．
（2）由（1）知，＝＝，
又＝5，，
故y关于x的线性回归方程为．
令y＝15.5，得到15.5＝0.7x+1.5，得到x＝20，
估计经过20年该台设备的维护维修费用为15.5万元．
22．某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；
（2）为了进一步了解用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．
（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？
（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．
解：（1）抽取的200户居民用水量的平均数+9×0.05+11×0.025）×2＝5.2（立方米）．
（2）（ⅰ）将用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民数分成三层，各层频率分别为0.075×2＝0.150，0.050×2＝0.100，0.025×2＝0.050，
所以用水量在[6，8）范围内的应抽取（户），
用水量在[8，10）范围内的应抽取（户），
用水量在[10，12]范围内的应抽取（户）．
（ⅱ）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，抽取的用水量在[6，8）范围内的3户分别记为a1，a2，a3，
抽取的用水量在[8，10）范围内的2户分别记为b1，b2，抽取的用水量在[10，12]范围内的1户记为c，
从6户中随机抽取3户的所有结果为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，
其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，所以3户分别来自3个不同范围的概率．
使用年限x（单位：年）
2
4
5
6
8
维护维修费用y（单位：万元）
3
4
5
6
7
使用年限x（单位：年）
2
4
5
6
8
维护维修费用y（单位：万元）
3
4
5
6
7