考点01 函数的应用之零点问题1-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点01 函数的应用之零点问题1

1.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9是连续函数，
f（﹣1）＝﹣8，
f（0）＝﹣9，
f（1）＝﹣8，
f（2）＝1，
根据零点存在定理，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴函数在（1，2）存在零点，
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
2.（2020•兴庆区校级期中）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1）
【解答】解：作出函数的图象如图，

令t＝f（x），要使方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，
则方程t2﹣at＝0一个根为0，另一根a∈（0，1]．
故选：A．

【知识点】函数的零点与方程根的关系
3.（2020•河东区期中）函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，F（x）＝，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为．
A．（﹣1，0] B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1）
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，
可得f（x）＞g（x），即为x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1；
则F（x）＝，
作出函数F（x）的图象，
函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，
即为y＝F（x）的图象和直线y＝a有3个不同交点，
由图象可得当﹣1＜a＜0时，y＝F（x）和y＝a有3个不同的交点，
即函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为（﹣1，0）．
故选：B．

【知识点】函数零点的判定定理
4.（2020•洛阳期中）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3﹣x的解为x0，
在同一坐标系中做出y=log3x和y=3﹣x的图象，
如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2．
故选：C．

【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数零点的判定定理
5.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝k，
则：a，b，c，d为f（x）＝k的四个不同的实数根，
于是a，b为方程x2+2x+k＝0的不同实根，所以a+b＝﹣2，
由|lgc|＝|lgd|可知：且由于0＜lgd＜1，可知1＜d＜10，于是c+2d＝2d+∈（3，），
于是：a+b+c+2d∈（1，）．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
6.（2020•岳麓区校级期中）函数的零点所在的大致区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：函数，函数是连续减函数，
f（2）＝1+ln1＝1＞0，
f（3）＝+ln＝＝ln＜0．
因为f（2）f（3）＜0，
所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
7.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（　　）
A．（，5） B．（﹣，5）
C．（﹣∞，）∪（5，+∞） D．（﹣∞，）
【解答】解：∵方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，
∴函数f（x）＝4x2+（m﹣2）x+m﹣5的两个零点一个在区间（﹣1，0）内，另一个在区间（0，2）内，
则，解得﹣＜m＜5．
∴m的取值范围是（﹣，5）．
故选：B．
【知识点】二分法的定义与应用
8.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（　　）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
【解答】解：令函数f（x）＝xlnx＝0，解得x＝1，
∴函数f（x）有唯一的零点x＝1，
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
9.（2020•番禺区校级期中）函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝（x﹣2）2﹣8+a（2x﹣2+2﹣x+2）
令t＝x﹣2，
则函数f（x）等价为g（t）＝t2﹣8+a（2t+2﹣t），
则函数g（t）为 偶函数，
若函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，
等价为g（t）只有一个零点，即g（0）＝0，
则g（0）＝﹣8+2a＝0，
∴2a＝8，即a＝4．
故选：D．
【知识点】函数零点的判定定理
10.（2020•和平区期中）函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵f（﹣1）＝2﹣1﹣1＝﹣＜0，
f（0）＝1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，
函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（﹣1，0）
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
11.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，2） B．（0.1） C．（1，2） D．（﹣∞，1）
【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，函数的对称轴为：x=1，
可得：，即：，解得：0＜a＜1．
则a的取值范围为：（0，1）．
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
12.（2020•临夏市校级期中）函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
【解答】解：函数f（x）=2x﹣2+x，是连线函数，
∵f（0）=﹣1＜0，
f（1）=2×1﹣2+1=1＞0，
满足f（0）f（1）＜0．
∴函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间为（0，1）．
故选：D．
【知识点】函数零点的判定定理
13.（2020•雁塔区校级期中）函数f（x）=x2﹣的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：f（x）=x2﹣的零点即为方程x2+1=的实根，
作出y=x2+1与y=的图象，
可得它们的交点个数为1，
即f（x）的零点个数为1．
故选：B．

【知识点】函数零点的判定定理
14.（2020•滨州期中）已知函数f（x）=若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（+）（x3+x4）=（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，
f（x）=m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且
x1＜x2＜x3＜x4，可得x3+x4=8，
且|log2（x1﹣1）|=|log2（x2﹣1）|，
即为log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）=0，
即有（x1﹣1）（x2﹣1）=1，
即为x1x2=x1+x2，
可得（）（x3+x4）=x3+x4=8．
故选：C．

【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用

15.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有　　个．
【解答】解：函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点与两个函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的交点个数相同
由右图知，函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的图象仅有一个交点
故函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有1个
故答案为 1

【知识点】函数的零点
16.（2020•榕城区校级期中）已知函数f（x）＝ex+x﹣m在（1，2）内有零点，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，若m为整数，则m的值为　　．
【解答】解：∵f（x）＝ex+x﹣m在（1，2）上单调递增，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）单调递增，
∴若f（x）＝ex+x﹣m在（1，2）内有零点，则f（1）f（2）＜0，
即（e+1﹣m）（e2+2﹣m）＜0，解得e+1＜m＜e2+2；
若g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，
由g（x）＝ln（x﹣m）＝0得x﹣m＝1，
即x＝m+1，
由4＜m+1＜6，解得3＜m＜5，
综上，
则e+1＜m＜5，
若m为整数，则m的值等于4，
故答案为：4
【知识点】函数零点的判定定理
17.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有　　　　．
①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝ex﹣1；④．
【解答】解：∵f（x）＝4x+2x﹣2在R上连续，且f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+1﹣2＝1＞0．
设f（x）＝4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，
0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．
又g（﹣x）＝4x﹣1零点为x＝；
的零点为x＝；
g（x）＝ex﹣1零点为x＝0；
零点为x＝，
满足题意的函数有①②．
故答案为：①②．
【知识点】函数零点的判定定理
18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝　﹣　．
【解答】解：由f（﹣1）＝﹣3＜0，f（0）＝1＞0，及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，
∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣1，0）
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【知识点】函数零点的判定定理
19.（2020•无锡期中）若函数y＝，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 的范围为　　　　　　　　．
【解答】解：当x≤0时，y＝x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，
x＞0时，y＝x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，
可知分段函数，两个区间各有一个零点，
可得，解得a∈[0，2+ln2）．
故答案为：[0，2+ln2）．
【知识点】函数零点的判定定理
20.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为　　．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1）＝2+0＞0，
当x＝0时，20＝1，当→0+时，log3x→﹣∞，
∴f（0）＜0
∴函数f（x）＝2x+log3x的零点一定在区间（0，1），
∴k＝0，
故答案为：0
【知识点】二分法的定义与应用

21.（2020•温州校级期中）已知函数f（x）＝﹣1+loga（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）＝．
（1）函数y＝f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）＝0在x∈（1，2）上有唯一解．
【解答】解：（1）由loga1＝0可得f（﹣1）＝﹣1+loga1＝﹣1，故A（﹣1，﹣1）
（2）∵
∴a＝2
∴
∵分别为（﹣2，+∞）上的增函数和减函数
∴F（x）为（﹣2，+∞）上的增函数
∴F（x）在（﹣2，+∞）上至多有一个零点
又（1，2）⊂（﹣2，+∞）
∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点
而
∴F（x）＝0在（1，2）上有唯一解
【知识点】对数函数的单调性与特殊点、函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系
22.（2020•西城区期中）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．
（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（1）＝f（3），∴函数图象的对称轴x＝＝2，得b＝4，
又∵f（2）＝﹣4+4×2+c＝2，∴c＝﹣2，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x﹣2．
（2）由（1）得，当x＞0时f（x）＝﹣x2+4x﹣2，
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣2＝﹣x2﹣4x﹣2，
∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+4x+2．
（3）由题意，只需﹣x2+4x﹣2＝ax在（0，+∞）上有解，∴a＝﹣x﹣+4≤，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣2+4]．
【知识点】函数的零点、函数解析式的求解及常用方法
23.（2020•柯城区校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．
（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；
（2）设函数q（x）＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，
∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．
∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得 k≤﹣2，或 k≥7．
若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，
或②，或③，或④．
解①得﹣5＜k＜﹣，解②得k∈∅，解③得k＝﹣，解④可得 k＝﹣2，或k＝7．
当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意
所以k＝7舍去．
若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得﹣＜k≤﹣2．
综上所述，实数k的取值范围为（﹣5，﹣2]．
（2）函数q（x）＝，
即q（x）＝．
显然，k＝0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．
当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．
记A＝[k，+∞），B＝[5，+∞）．
①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，
要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；
②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；
综上可得，k＝5满足条件．
故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．
【知识点】函数的零点、函数与方程的综合运用
24.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）﹣loga（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，
①当0≤x＜1时，f（x）＝[x]＝0；②当1≤x＜2时，f（x）＝[x]＝1；
③当2≤x＜3时，f（x）＝[x]＝2；④当3≤x＜4时，f（x）＝[x]＝3；
所以f（x）＝．
（Ⅱ） g（x）＝x﹣f（x）＝，图象如图所示：

（Ⅲ）方程g（x）﹣＝0仅有一根等价于g（x）与h（x）＝ 图象仅有一个交点，
由图象可知0＜a＜1 时，h（1）＝，解得；
a＞1时，h（2）＝或，解得1＜a≤或．
综上，a的范围是[，1）∪（1，]∪（，]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点、函数的图象与图象的变换
25.（2020•深圳校级期中）设f（x）为二次函数，且f（1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝﹣4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）
则f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b
所以2ax+a+b＝1﹣4x对一切x∈R成立．故
所以，
又因为f（1）＝1，所以a+b+c＝1，所以c＝0．
故f（x）＝﹣2x2+3x
（2）g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝﹣2x2+2x﹣a，
函数g（x）在实数R上没有零点，则函数图象与x轴没有交点
故△＝4﹣8a＜0，
解之得
【知识点】函数的零点与方程根的关系
26.（2020•椒江区校级期中）已知二次函数f（x）＝x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0在[0，1]上有两个相等的实根时，
△＝（m﹣1）2﹣8m＝0且0，此时无解．
（2）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0有两个不相等的实根时，
①有且只有一根（[0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜0，
②当f（0）＝0时，m＝0，f（x）＝x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1，符合题意．
③f（1）＝0时，m＝﹣2，方程可化为x2+3x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4，符合题意，
综上可得，实数m的取值范围为：[﹣2，0]
【知识点】函数的零点
27.（2020•道里区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）＝2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；
（Ⅱ）若方程g（x）＝t有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（I）f（x）＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，
因为f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；
（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，
g（x）＝2x+1﹣22x，令t＝2x∈[，2]，
则g（x）＝﹣t2+2t的值域为[0，1]；
（III）由f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0
得f（g（x））≤﹣f（3am﹣m2﹣1），
由（I）得f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），
即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，
则（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，
设h（a）＝﹣3am+m2+1，则h（a）≥1对一切a∈[﹣2，2]恒成立，
若m＝0则恒成立；
若m≠0则，即，
解得m∈（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
综上所述m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）∪{0}．
【知识点】函数的零点、函数恒成立问题
28.（2020•姜堰市期中）规定maxf（x），g（x）＝，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）＝max1﹣log2x，1+log2x．
（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；
（2）若方程F（x）＝m有唯一实数解，求实数m的值；
（3）求t＞0时，函数y＝F（x）在x∈[t，2]上的值域．
【解答】解：（1）根据题意和奇函数的定义得，，
由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图：
由图得，F（x）增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1），
减区间为（0，1），（﹣1，0），
（2）由函数的解析式和图象得，方程F（x）＝m有唯一实数解时，有m＝﹣1，0，1，
（3）由函数解析式求得，，故分三种情况求值域：
当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，1﹣log2t]，
当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，2]
当1＜t≤2时，则函数在此区间上是增函数，故y＝F（x）值域为[1+log2t，2]．

【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点与方程根的关系、函数的值域