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（新高考）2021届高三培优专练17 圆锥曲线离心率解析版
展开培优17 圆锥曲线离心率 一、已知圆锥曲线方程直接求离心率例1：椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为，故选A．二、根据圆锥曲线的几何性质求离心率的值或取值范围例2：（多选题）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】若双曲线焦点在轴上，因为渐近线方程为，故，∴；若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，∴，故选AB．三、根据圆锥曲线的离心率求参数的值或取值范围 例3：已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得，故选B．四、圆锥曲线的离心率的综合运用例4：已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设直线与圆相切于点，连接，则，椭圆的左右焦点分别为，，∵轴，∴，∴，∵，∴轴，∴，∴，即，解得，故选A．增分训练一、选择题1．已知双曲线，则的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，所以，故选B．2．椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，又，可得，整理可得，所以，故选D．3．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，双曲线方程为，，所以该双曲线的渐近线方程为．又其中一条渐近线与直线垂直，即与直线垂直，所以，即，所以双曲线标准方程为，所以双曲线的离心率为，故选A．4．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，，又椭圆离心率，所以，由，解得，故选D．5．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，其一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的中心在原点，焦点在轴上，设双曲线的方程为（，），其一条渐近线方程为，∴，离心率，故选A．6．若双曲线（，）的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知双曲线（，）的一条渐近线为，圆的圆心为，半径，由题意得：圆心到渐近线的距离，又因为，代入可得，所以，故选D．7．在直角坐标系中，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，，故选D．8．（多选题）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，由题意可得，解得，又，所以，，所以，该椭圆离心率的取值范围是，故符合条件的选项为BD，故选BD．9．（多选题）曲线与的离心率分别为，，下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由曲线，可得，，则，可得离心率；由曲线，可得，，则，可得离心率，因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，故D错误，故选BC． 二、填空题10．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 ．【答案】【解析】因为双曲线（，）的离心率为，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故答案为．11．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是 ．【答案】【解析】如图，由于轴，故，，设点，因为，所以，得，所以．12．双曲线的离心率等于 ，其渐近线与圆相切，则 ．【答案】，【解析】化双曲线的方程为标准方程，得，所以，，所以，渐近线的方程为．化圆的方程为，则由，解得，故答案为，．13．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．【答案】【解析】设椭圆对应的参数为，，，双曲线对应的参数为，，，由于线段的垂直平分线过，所以有．根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即，所以，即最小值为．14．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围 ．【答案】．【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，∴，．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴椭圆的离心率．
