专题10 综合测试03（解析版）

    专题10  综合测试03一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（山东省2021届高三开学质量检测）设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】集合，或，，则故选：B2、（2021年辽宁锦州开学调研） 函数的图象大致是（   ）A.           B.  C.           D. 【答案】A【解析】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得，所以排除选项C.故选A3、（2021年辽宁锦州开学调研） 设，则大小关系是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】由题意可知：，则：.故选C.4、（山东省2021届高三开学质量检测）马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，其中梅森素数有3，7，37共3个，则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有种，其中至少有一个为梅森素数有种，所以至少有一个为梅森素数的概率是.故选：A.5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知数列满足且，则（    ）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.6、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设是非零向量，则是成立的（   ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B7、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设渐近线方程，即，与圆：相切，圆心到直线的距离，，所以.故选：B8、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是(    )A．                     B． B．C． D．【答案】C【解析】，，当时，函数单调递增，不成立；当时，函数在上单调递增，在上单调递增；有且只有两个整数使得,且，故且 即；故选：.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若则D．若则【答案】BC【解析】若，，则，故A错；若，，则，化简得，故B对；若，则，又，则，故C对；若，，，，则，，，故D错；故选：BC．10、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）A．若则B．若则C．若，，则D．若，则【答案】ACD【解析】若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，则，又，则，故D对；故选：ACD．11、（山东省潍坊市五县市2021届高三阶段性监测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）A. 为奇函B. C. 当时，在上有4个极值点D. 若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【解析】∵∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴，故B对.由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，∵在上单调，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，故D对故选：BCD.12、（山东省2021届高三开学质量检测） 已知函数，下列说法中正确的有（    ）A. 函数的极大值为，极小值为B. 当时，函数的最大值为，最小值为C. 函数的单调减区间为D. 曲线在点处的切线方程为【答案】ACD【解析】因为所以，由，得或，由，得，所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，所以当时，取得极大值，在时，取得极小值，故选项正确，当时，单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.故选：ACD.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量的取值为、、，，，则______.【答案】【解析】设，其中，可得出，，，解得，因此，.故答案为：.14、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）【答案】96【解析】先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；所以有96种排法．故答案为：96.15、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.【答案】        【解析】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.16、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.【答案】【解析】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，，则，再令，，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（山东省2021届高三开学质量检测） 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积.18、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得.. (2)前项和.19、（山东省潍坊市五县市2021届高三阶段性监测）（本小题满分12分）某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月（每个月按30天计）中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如下表（单位：天）         锻炼人次质量等级[0，100](100，200](200，300]1（优）313202（良）410123（轻度污染）6684（中度污染）710若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．（1）估计该公园一天的“空气质量好”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 人次≤200人次＞200空气质量好  空气质量差  P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：， 【解析】（1）由数据得“空气质量好”的天数共为3+13+20+4+10+12=62，     ……………4分该公园一天的“空气质量好”的概率为     ……………5分（2）根据所给数据，得到下面的列联表 人次≤200人次>200空气质量好3032空气质量差208……………………………8分                ……………………10分由于故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与当天的空气质量有关。…………12分20、（湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考） 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.  （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.     【解析】（Ⅰ）在等腰直角三角形中，，所以.               ………2分因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.                                                    ………4分又因为平面，所以；                                  ………5分（Ⅱ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，因为平面，所以.             ………6分如图，以为原点建立空间直角坐标系. 则，，，，.，，.   ………7分    设平面的法向量为，则，即.令则，，所以.               ………10分直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.            ………12分  21、（辽宁锦州2020-2021学年度第一学期月考数学试卷）已知为函数的一个极值点.（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.【解析】（1），．．∵ 为函数的一个极值点，∴ ，故，．令，解得或．∴ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；（2）方程，整理得．因为，所以有．令，则．令，，故在上是增函数．∵ ，∴ 当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；∴ ．∵ 当或时，，∴ 方程有且只有一个实数根时，实数22、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：．（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．【解析】（1）因为椭圆C：＋y2＝1，所以F1(－，0)，F2(，0)．设T(x0，y0)，则 ·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x02＋y02－3．因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即＋y02＝1，所以·＝x02－2，且x02∈[0，4]，所以·的取值范围是[－2，1]．（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．设B(x1，y1)，Ｄ(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝． 因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 ·＝0，因此 (y1＋1)( y2＋1)＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1)( kx2＋m＋1)＋x1x2＝0，从而 (1＋k2) x1x2＋k(m＋1)( x1＋x2)＋(m＋1)2＝0，即 (1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0，也即 4(1＋k2)( m－1)－8k2m＋(1＋4k2) (m＋1)＝0，解得m＝． 又线段BD的中点M(－，)，且AM⊥BD，所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±．又当k＝±，m＝时，△＝64k2m2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝＞0，所以满足条件的直线l的方程为y＝±x＋.