专题09 综合测试02（解析版）

专题09  综合测试02一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题：，，，故选：D2、（江苏省南通市2021届高三上学期开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为   A．b＜a＜c        B．a＜b＜c        C．c＜b＜a        D．c＜a＜b【答案】：A【解析】∵，∴，∴，∴，又，，∴b＜a＜c，故选A．3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】不等式的解集为, 的两根为，，且，即,解得则不等式可化为解得故选4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，为两个平面，则的充要条件是（    ）A．内有无数条直线与平行 B．，平行与同一个平面C．内有两条相交直线与内两条相交直线平行 D．，垂直与同一个平面【答案】C【解析】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或或平行；
对于B，，平行于同一条直线，可得与相交或或平行；对于C，内有两条相交直线与内两条相交直线平行，可得α∥β；对于D，，垂直与同一个平面，可得与相交或或平行．
故选：C．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由已知，得，故选：C.6、（江苏省南通市2021届高三上学期开学考试）若，，，(0，)，则＝   A．          B．            C．            D．【答案】C【解析】∵，(0，)，∴(0，π)，(，)，∴，，∴，故选C．7、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，基本事件总数为：种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：种糖、烟、糖、糖： 种糖、糖、烟、糖：种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为故选：D8、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，函数的图象关于对称函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：． 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，，则下列不等式中恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，
当时，，故B错误，
，，则，故C正确，
，，故D正确.
故选：CD．10、（2021年江苏沭阳检测）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是A. 对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个
B. 可以是某个圆的“优美函数”
C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D. 函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】：当函数图象为中心对称图形，且对称中心在圆心时，该图象能够将圆的周长和面积同时平分，函数即为“优美函数”．
对A，对于任意一个圆，存在无数个函数，图象为中心对称图形，只要平移，使其对称中心平移到圆心，对应的函数都是“优美函数”，A正确；
对B，的图象关于点对称，所以它是以原点为圆心的某个圆的“优美函数”，B正确；
对C，正弦函数有无数个对称中心，所以它是以这些对称中心为圆心的圆的“优美函数”，C正确；
对D，函数的图象将圆的周长和面积同时平分时，该函数图象不一定是中心对称图形，D错误，
故选ABC．
11、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（    ）A．游客至多游览一个景点的概率 B．C． D．【答案】ABD【解析】记该游客游览个景点为事件，，则，，所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；随机变量的可能取值为，，，故B正确；， ，故C错误；数学期望为：，故D正确，故选：ABD.12、（江苏省南通市2021届高三上学期开学考试）在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且，则A．a，b，c成等比数列           B．sinA：sinB：sinC＝2：1：C．若a＝4，则S△ABC＝       D．A，B，C成等差数列【答案】BC【解析】由得，，，故ab＝c2，故a，c，b成等比数列，故A错误；∵bcosC＋ccosB＝2b，∴a＝2b，又ab＝c2，∴c＝b，∴a：b：c＝2：1：，∴sinA：sinB：sinC＝2：1：，故B正确；cosC＝，sinC＝，∴S＝，故C正确；cosB＝，故B≠60°，故D错误，故选BC． 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）已知的展开式各项系数之和为64，则展开式中第五项的二项式系数是______，【答案】15【解析】：的展开式中各项系数和为64∴，∴展开式中第五项的二项式系数14、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________.【答案】【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，∵，15、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝        ；若＝2，则＝       ．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】：4；220【解析】：根据①，得②，①﹣②得，故；当＝2，可得该数列满足，且与均为公差为2的等差数列，即可求得＝220．16、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.【答案】【解析】四边形是正方形，，即，且，，所以，的外接圆半径为，设鳖臑的外接球的半径，则，解得.平面，，可得，.正方形的外接圆直径为，，平面，所以，阳马的外接球半径，因此，阳马的外接球的表面积为.故答案为：. 四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分） 17．（2021年徐州市铜山区第一次质量检测）（本小题满分10分）有下列条件：① 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，的图象关于原点对称；② 向量，，，；③ 函数．在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答。已知  ▲  （填所选条件序号），函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为。（1）求的值；  （2）求函数在上的单调递减区间。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 【解析】：选择条件①：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，.........................2分，又，的图像关于原点对称，则，由知................................4分从而，..................................................  5分选择条件②：依题意，........................   2分即有：又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而............................. 4分从而，....................................  5分选择条件③：依题意，即有：            .............  2分化简得：即有：又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而............... 4分从而  ............... 5分（2），则其单调递减区间为，解得，.........7分令，得，......... 9分从而在上的单调减区间为........................... 10分18、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的通项公式【解析】（1）设等差数列首项为，公差为．由已知得，解得．于是．（2）当时，．  当时，，当时上式也成立．于是．故．19、（江苏省南通市2021届高三上学期开学考试）（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意． 满意不满意总计男生   女生   合计  120（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．附公式及表：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，于是可完成列联表，如下： 满意不满意总计男生302555女生501565合计8040120根据列联表中的数据，得到的观测值，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” （2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即,.可得分布列为0123可得.   20、（徐州市2021届高三学情调研考试）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD．（1）证明：平面BED⊥平面ABCD；（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）如图，在四棱锥E－ABCD中，连接AC，交BD于点O，连接EO，∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，又EC⊥BD，EC∩AC＝C，EC，AC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，又OE⊂平面AEC，∴OE⊥BD，…………………………………2分又底面ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，在Rt△ADC中，由AD＝，CD＝1，可得AC＝2，AO＝，∴∠AEC＝90°，＝＝，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，即EO⊥AC，又AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面ABCD，…………4分又EO⊂平面BED，∴平面BED⊥平面ABCD． …………5分（2）如图，取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，DM，则MN∥BE，由（1）知，∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，又BC⊥AB，DN，CB⊂平面ABCD，∴DN∥CB，…………………………………………………6分又MN∩DN＝N，BE∩BC＝B，MN，DN⊂平面DMN，BE，BC⊂平面EBC，∴平面DMN∥平面EBC， ∴点P在线段MN上．………………………………………7分以O为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则，，，，，，，，，，……8分设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，不妨令，则n＝(1，，)，……………………9分设＝λ (0≤λ≤1)，则， ……………10分设直线DP与平面ABE所成的角为θ，则， ………………………………11分因为0≤λ≤1，所以当λ＝0时，sin θ取得最大值，故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为． ………………………………12分 21、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）（本小题满分12分）已知函数，kR．（1）当k＝2时，求函数的单调区间；（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；（3）设n，求证：．【解析】（1）当k＝2时，f (x)＝2x－xlnx，f′(x)＝1－lnx，     由f′(x)＞0，解得0＜x＜e；由f′(x)＜0，解得x＞e，     因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)． （2）f (x)＝kx－xlnx，故f′(x)＝k－1－lnx．     当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k－1≥0≥lnx，     因此f′(x)≥0恒成立，即f (x)在(0，1]上单调递增，     所以f (x)≤f (1)＝k恒成立．       当k＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝ek－1∈(0，1)．     当x∈(0，ek－1)，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈(ek－1，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；     于是f (ek－1)＞f (1)＝k，与f (x)≤k恒成立相矛盾．      综上，k的取值范围为[1，＋∞)．  （3）由（2）知，当0＜x≤1时，x－xlnx≤1．     令x＝(n∈N*)，则 ＋lnn≤1，即2lnn≤n2－1，      因此≤．       所以＋＋…＋≤＋＋…＋＝． 22、（2021年泰州中学联考试卷）（本小题满分12分）. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【解析】：（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，，又由得，解得：，或（舍去），椭圆方程为；（2）设直线的方程为，的坐标分别为则直线的方程为，令，得点的横坐标直线的方程为，令，得点的横坐标把直线代入椭圆得由韦达定理得,∴，是定值．