专题11 综合测试04（解析版）

                        专题11  综合测试04

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（山东省2021届高三开学质量检测）已知复数，为的共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】.

故选：D

2、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）若随机变量，且，则（    ）

A．0.1587   B．0.3174  C．0.3413   D．0.6826

【答案】A

【解析】随机变量，∴正态分布的对称轴为

又，∴

∴选A．

3、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）函数的图像大致是（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，，在，

，在中选再考虑到时，．∴选A．

4、（2021年江苏南京29中调研）记为等差数列的前项和．已知，，则（    ）

A.          B.  

C.                 D.

【答案】C

【解析】：设等差数列的公差为．，，

，，解得：，，

．．故选：．

5、（2020·河南高三期末（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A．30 B． C．33 D．

【答案】B

【解析】因为，所以，又底面，

所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.

利用张衡的结论可得，则，

所以球的表面积为.故选：B

6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，故，

，

根据对称性知：.故选：.

7、（2021年辽宁锦州联考）若,且,,则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，

∵sin（）0，

∴＜0，则cos（），

∵sinα，∴cosα，

则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故选B

8、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线方程中：令可得，即，

结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，

与抛物线方程联立可得：，

据此可得：，且：，

将代入可得，故，故,

故△ABM的周长为,

本题选择D选项.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（    ）

A．他们健身后，体重在区间内的人增加了2个

B．他们健身后，体重在区间内的人数没有改变

C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了

D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少

【答案】ABD

【解析】体重在区间内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故正确；他们健身后，体重在区间内的百分比没有变，所以人数没有变，故正确；

他们健身后，20人的平均体重大约减少了，故错误；

因为图（2）中没有体重在区间内的比例，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，故正确.

故选：

10、（2021年江苏南京29中调研）在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ）

A. 若 ，则 ；

B. 若，则一定为等腰三角形；

C. 若，则为直角三角形；

D. 若为锐角三角形，则 .

【答案】AC

【解析】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；

对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；

对于C，，

则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；

对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.

故选：AC.

11、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（    ）

A．函数为减函数 

B．

C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 

D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h

【答案】AC

【解析】A.∵，∴，

由题意，在上是减函数，A正确．

B.，整理得，B错误；

C.由A、B得，即时取等号，

由，解得，C正确；

D.时，，，，D错．

故选：AC.

12、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则（    ）

A．    B．在处取得极大值

C．    D．在单调递增

【答案】ACD

【解析】：，两边同乘以可得，

即而

∴可设

而，∴，∴

∴，即

，A正确．

在，，∴单调增无极值，B错误；D正确

，C正确

故本题选ACD．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.

【答案】

【解析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：

故所求概率.

故答案为：

14、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又

即时等号成立，

故的最小值为9.

故答案为：9

15、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）在中，，，，为线段的中点，则______，______.

【答案】2       

【解析】

为线段的中点，，

，

，

，

.

故答案为:；.

16、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知函数若，则实数的取值范围为___．

【答案】

【解析】

，

令，即或，

解得或，

，或，

或 或 或 ，

解得或，

故答案为：.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

选①

∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

18、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）(本小题满分12分)已知正项等比数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为

由已知，由题意得，

所以，解得，.

因此数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

∴.

19、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）(本小题满分12分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成，到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和，2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是关键时刻，更应该强调“精准”，为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为元，求的分布列；

（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元概率；

（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元，假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由．

【解析】（1），

，

∴的所有可能值为12500，17000，23000

且，

∴的分布列如下：

（2）种植一年该经济农作物纯收入不少于16000元的概率为

∴三年至少有两年的纯收入不少于16000元的概率．

（3）由（2）知2020年底该农户一年的纯收入为

4人均收入为

∴预测该农户能凭这一亩经济农作物的纯收入在2020年底脱贫．

20、（20121年江苏徐州联考）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD．

（1）证明：平面BED⊥平面ABCD；

（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

【解析】（1）如图，在四棱锥E－ABCD中，连接AC，交BD于点O，

连接EO，∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，

易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩AC＝C，EC，AC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，

又OE⊂平面AEC，∴OE⊥BD，…………………………………2分

又底面ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

在Rt△ADC中，由AD＝，CD＝1，可得AC＝2，AO＝，

∴∠AEC＝90°，＝＝，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，

即EO⊥AC，又AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面ABCD，…………4分

又EO⊂平面BED，∴平面BED⊥平面ABCD． …………5分

（2）如图，取AE的中点M，AB的中点N，

连接MN，ND，DM，则MN∥BE，由（1）知，

∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，

∴DN⊥AB，又BC⊥AB，DN，CB⊂平面ABCD，

∴DN∥CB，…………………………………………………6分

又MN∩DN＝N，BE∩BC＝B，MN，DN⊂平面DMN，BE，BC⊂平面EBC，∴平面DMN∥平面EBC，

∴点P在线段MN上．………………………………………7分

以O为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，

则，，，，，，

，，，，……8分

设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，

则，即，不妨令，则n＝(1，，)，……………………9分

设＝λ (0≤λ≤1)，则， ……………10分

设直线DP与平面ABE所成的角为θ，

则， ………………………11分

因为0≤λ≤1，所以当λ＝0时，sin θ取得最大值，

故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为． …………………………12分

21、（辽宁2021届高三上学期10月联考） 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无需计算）及期望．

【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立，    ………2分 

. ……5分

(2)，   ，

, 

因此，的分布列如下：

………9分

因为～                                              ………10分

所以                                              ………12分

21、（湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考） 在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

【解析】　(1)由题意得⇒       

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.                                  ………4分

(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，                    

AB1与A1B的交点是.                                         ………5分

②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB为y＝k(x－2)，

由⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，                              ………6分

A1，B1，

所以lAB1：y＝＋y2， lA1B：y＝＋y1，      ………7分

联立解得x＝＝＝＝，         ………9分    

代入上式可得

y＝＋y2＝

＝＝0.                ………11分

综上，直线AB1与A1B过定点.  

22、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）(本小题满分12分)

已知函数，．

（1）求证：；

（2）用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．

【解析】（1）证明：设，定义域为，

则．

当时，；当时，，

故在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

所以，所以．

（2）解：函数的定义域为，

，

当时，；当时，，

所以在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即，

若，则，

当时，；当时，；

当时，．

所以，于是只有一个零点．

当，则当时，，此时，

当时，，，此时，

所以没有零点．

当，则当时，根据（1）可知，，

而，所以，

又因为，所以在上有一个零点，

从而一定存在，使得，

即，所以．

当时，，

所以，从而，

于是有两个零点和1．

故当时，有两个零点．

综上，当时，有一个零点，当时，没有零点，当时，有两个零点．