专题15 综合测试08（解析版）

专题15  综合测试08

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】集合，

或，

，则

故选：B

2、（2020届山东实验中学高三上期中）若是任意实数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】、是任意实数，且，如果，，显然不正确；

如果，，显然无意义，不正确；

如果，，显然，，不正确；

因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确．

故选：．

3、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数的部分图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】， 为奇函数，排除B

当时，恒成立，排除CD

故答案选A

4、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（    ）

A．-40 B． C．40 D．

【答案】B

【解析】的展开式的通项为

则中间项为.

故选：B.

5、（2021年山东师范大学附中期中） “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ）

A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项

【答案】B

【解析】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，

所以按从小到大的顺序排成一列可得，

由，得，故此数列的项数为101.

故选：B.

6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（    ）

A．厨余垃圾投放正确的概率为

B．居民生活垃圾投放错误的概率为

C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

【答案】D

【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；

可回收物投放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率．

对A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；

对B，生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；

对，该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C正确．

对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数，

可得方差，故D错误；

故选：D．

7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.

故选：D.

8、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线方程中：令可得，即，

结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，

与抛物线方程联立可得：，

据此可得：，

且：，

将代入可得，故，

故,

故△ABM的周长为,

本题选择D选项.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021年山东外国语期中）下列说法正确的是(    )

A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍

B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位

C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5

【答案】BD

【解析】对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故错误.

对于选项B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确.

对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误.

对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x=1对称，则P（ξ＞1）=0.5，正确.

故选：BD

10、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）已知函数，，则

   A．的图像关于点(2，0)对称       B．的图像的一条对称轴是x＝

   C．在(，)上递减         D．在(，)值域为(0，1)

【答案】：BC

【解析】：，利用完美区间法代入验证

11、（2021年山东青岛联考）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A. 若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为

B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D. 白玫瑰日销售量范围在的概率约为

【答案】ABD

【解析】对于选项A：，正确；

对于选项B C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；

对于选项D：，正确.

故选：ABD.

12、（2021年山东开学初模拟）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（    ）

A. 若、同在双曲线的右支，则的斜率大于

B. 若在双曲线的右支，则最短长度为

C. 的最短长度为

D. 满足的直线有4条

【答案】BD

【解析】易知双曲线的右焦点为，

设点、，设直线的方程为，

当时，直线的斜率为，

联立，消去并整理得.

则，解得.

对于A选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，当直线与轴重合时，，C选项错误；

对于D选项，当直线与轴重合时，；

当直线与轴不重合时，由韦达定理得，，

由弦长公式可得，解得或.

故满足的直线有条，D选项正确.

故选：BD.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2021年山东青岛联考） 棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．

【答案】

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，

则外接球的半径，

则外接球的表面积为.

14、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）已知函数为偶函数，则不等式的解集为  

        ．

【答案】(，)(2，)

【解析】：a＝﹣2，，

故解集为(，)(2，)．

15、（2021年山东一中期中模拟）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=           .

【答案】

【解析】∵θ是第四象限角，

∴，则，

又sin（θ），

∴cos（θ）．

∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．

则tan（θ）＝﹣tan（）．

故答案为．

16、（2021年江苏连云港期中模拟）已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为_______；_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】易知直线与轴的交点为，即抛物线的焦点为，∴准线方程为，

设，则，，作轴于点，如图，

则，，∴，

∴直线的斜率为．

故答案为：；．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2021年徐州期中考试联考）（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，______________，？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】．选择①：

由余弦定理可知，，……4分

由正弦定理得，，又，所以，…………………6分

所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分

选择②：

由正弦定理得，，即，

又，所以，所以，即，

又，所以．……………………………………………………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

选择③：

因为，所以，

又，所以，所以，即．…………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

18、（2021年徐州期中考试联考）（12分）设为数列的前n项和，满足，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【解析】（1）当时，，即，………………3分

由，，成等差数列可知，，

即，解得，所以，

则是以为首项，为公比的等比数列，

所以的通项公式为．……………………………………………6分

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减得，

，……………………………10分

所以．………………………………………………………12分

19、（2021年山东青岛高三调研） 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：

其中，时间变量对应的机动车纯增数据为，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量（单位：万辆）具有线性相关关系.

（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；

（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：

根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.

附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.

附：，.

【解析】（1）由

所以，，

.

所以.

因为过点，所以，

，所以.

2025~2030年时，，所以，

所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.

（2）根据列联表，计算得的观测值为

，

，

所以有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.

20、（2021年山东青岛高三期中模拟）如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.

（1）证明：平面；

（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.

【解析】（1）因为平面，

且平面，平面平面，

所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以，

又因为平面平面，

且平面，平面平面，

所以平面.

（2）由（1）知，，

，当且仅当时等号成立，

分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取，得，

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取，得，

所以，则二面角的余弦值为.

21、（2021年山东开学初高三质量检测） 已知椭圆过点，且该椭圆一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点.若直线与直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.

【解析】（1）由椭圆过点得，椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点，可得，又即，解得，，∴椭圆方程为.

（2）证明：①当直线斜率不存在时，

设直线，，，

，即，

解得或，直线不过点,故(舍)，，舍去，

故不满足.

②当直线斜率存在时，设，，，

联立，整理得.

，， ①

则，

∴，

将①代入上式可得，

∴，

若，，,直线经过点与已知矛盾，

若，，存在使得成立.

∴直线的方程为，

故直线过定点.

22、（2021年济南外国语期中联考） 已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）当时，．

所以

令，则或，令，则，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为

（2）存在，满足题设，

因为函数

所以

要使函数在上单调递增，

即，，

令，，则，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点，且，

∴在上的最大值为．

所以存在，满足题设．