专题09 集合的概念（原卷及解析版）

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知识点1：集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
【知识点拨】集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
知识点2：元素与集合的关系
【知识点拨】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
知识点3：集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
【题型归纳目录】
题型1：集合与元素的含义
题型2：元素与集合的关系
题型3：集合中元素特性的简单应用
题型4：列举法表示集合
题型5：描述法表示集合
题型6：集合表示的综合问题
【典型例题】
题型1：集合与元素的含义
1．（2022湖南·怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．的近似值D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的定义分析判断即可.
【详解】
对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
2．（2022北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
3．（2022·全国·高一）给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合中的元素需要满足：确定性、互异性、无序性进行判断.
【详解】
解：
① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.
② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.
③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.
④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.
故选：A
4．（2022甘肃兰州·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合
D．这六个数能组成一个集合
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的性质，结合各选项的描述判断正误.
【详解】
A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
C：和中的元素相同，它们是同一个集合，正确；
D：中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误.
故选：C
5．（2022江西省崇义中学高一期中）下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】
【分析】
结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.
【详解】
由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.
故选：B.
6．（2022全国·高一课时练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级全体较胖的同学
B．接近于0的数
C．全体很大的自然数
D．平面内到三个顶点距离相等的所有点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合中元素的确定性，即可判断对象能否构成集合.
【详解】
解：A中的“较胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都没有一个明确的标准，
不满足元素的确定性，所以A，B，C中的对象均不能构成集合，
显然D中的对象满足元素的确定性，则能构成集合．
故选：D．
7．（2022全国·高一课时练习）下列各个全体中，能表示为集合的是（ ）
A．某届某校较优秀的毕业生；B．很接近的所有实数；
C．某班身高较高的男生；D．数轴上所有的有理数点．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的概念依次判断即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，较优秀的毕业生不确定，故不正确；
对于B选项，很接近的数没有度量标准，故不正确；
对于C选项，身高较高没有度量标准，故不正确；
对于D选项，满足集合的概念，故正确.
故选：D
题型2：元素与集合的关系
1．（2022湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不是整数，是实数，不是正整数，是无理数
【详解】
①错误②正确③错误④正确
故选：B
2．（2022浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数集的定义，即可得答案；
【详解】
是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
3．（2022·四川自贡·高一期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
4．（2022黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】
解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
5．（2022江苏·常州市第一中学高一期中）已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值.
【详解】
，且，或
⑴、当即或，
①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当时，，，此时，符合题意；
⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数的值为1.
故选：B
6．（2022山西·大同市平城中学校高一阶段练习）已知集合，若A中只有一个元素，则a=（ ）
A．0或B．C．D．0或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A中只有一个元素，分和两种情况讨论即可得出答案.
【详解】
解：当时，,符合题意，
当时，因为 A中只有一个元素，则方程只有一个解，
所以，所以.
综上所述或.
故选：A.
题型3：集合中元素特性的简单应用
1．（2022全国·高一课时练习）若集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素的互异性可知，解之即可求出结果.
【详解】
由集合中元素的互异性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有实数，
故选：D.
2．（2022北京·海淀实验中学高一阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．1或﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.
【详解】
∵，根据集合中元素的性质可得：
∴，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故选：C.
3．（2022湖北·武汉市育才高级中学高一阶段练习）集合中a的取值范围是（ ）
A．或B．
C．且D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合中元素的互异性可知，即可选出答案.
【详解】
由集合中元素的互异性，需要满足，解得且，
故选：C.
4．（2022河北·石家庄二十三中高一阶段练习）若，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等的概念，以及集合元素的互异性，求得，代入即可求解.
【详解】
因为，可得，即，
若时，此时不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，此时，
所以，所以.
故选：C.
5．（2022全国·高一课时练习）若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两个方程的根，利用集合元素的互异性即得解.
【详解】
解：方程和方程的实数根分别是2，3和2，-1，
又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3个.
故选：C
6．（2022全国·高一课时练习）由实数，，，，所组成的集合中最多含有（ ）
A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素
【答案】A
【解析】
【分析】
对各个对象进行化简并判断形式是否相同，从而判断集合中所含元素的个数.
【详解】
，，而或，所以共有和两种形式.则当时，集合中有1个元素，当时，集合中有2个元素，，所以组成的集合中最多含有2个元素．
故选：A
7．（2022四川甘孜·高一期末）若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】
由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
题型4：列举法表示集合
1．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）方程组的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减消元法求得方程组的解集.
【详解】
依题意，
两式相加得，
所以方程组的解集为.
故答案为：
2．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】
因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
3．（2022全国·高一课时练习）若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分别讨论正负即可求出.
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高一）集合，，，则的所有元素之和等于__________.
【答案】18
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系，利用列举法求出集合，从而可求出的所有元素之和.
【详解】
解：由题可知，，，，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则；
所以，
所以的所有元素之和为：.
故答案为：18.
5．（2022全国·高一课时练习）已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解.
【详解】
根据题意分2种情况讨论：
当全部为负数时，为正数，则；
当全部为正数时，为正数，则；
当一正一负时，为负数，则；
综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2
故答案为：2
6．（2022广东·中山中学高一阶段练习）已知集合M=，N=，定义集合A=，则A中元素的个数是________________
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意，列举法表示集合A，即得解
【详解】
由题意，集合M=，N=
故集合A=，有8个元素
故答案为：8
7．（2022河南商丘·高一阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为______．
【答案】13
【解析】
【分析】
由题列举出集合B，即得.
【详解】
将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．
故答案为：13
8．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
【答案】(1){红色，黄色}；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的列举法的概念即得.
(1)
组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}；
(2)
由，解得，
故方程组的解集为.
9．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【解析】
【分析】
根据集合的列举法的概念即得.
(1)
{x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.
(2)
{(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(3)
{(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
(4)
{x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5)
{(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
题型5：描述法表示集合
1．（2022全国·高一课时练习）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
用数学式子表示出自然语言即可．
【详解】
被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，
因此．
故答案为：．
2．（2022上海市通河中学高一阶段练习）用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先注意是点集，利用与的范围来限定.
【详解】
可以用来表示图中阴影部分.
故答案为：
3．（2022全国·高一课时练习）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据各项集合的自然语言描述，直接应用描述法写出集合即可.
【详解】
（1）由描述可得：集合为.
（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.
（3）由偶数可表示为，故集合为.
（4）由描述知：集合为.
故答案为：，，，.
4．（2022全国·高一单元测试）所有正奇数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据正奇数的定义得到集合.
【详解】
所有正奇数组成的集合是.
故答案为：.
5．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【解析】
【分析】
根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.
(1)
解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
(2)
解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
(3)
解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
(4)
解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
(5)
解：集合，用描述法可表示为：且.
6．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的描述法即得.
(1)
奇数组成的集合为；
(2)
平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.
题型6：集合表示的综合问题
1．（2022·北京西城·高一期末）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
(1)
，
(2)
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
(3)
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.
2．（2022全国·高一课时练习）（1）是否存在实数，，使得等式成立？若存在，写出所有实数对的集合；若不存在，请说明理由；
（2）计算：．
【答案】（1）存在，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）化简可得，且，整理即得解；
（2）在（1）中令，，取，将5个式子叠加即得解
【详解】
（1）由题意，
，且，即
故所有满足条件的实数对的集合为．
（2）在（1）中令，，
有
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
将5个式子左右叠加可得：
3．（2022全国·高一专题练习）设集合.
（1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集；
（2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）从0依次令为自然数，计算可得集合B；
（2）举例，但，.设，，计算，可得结论.
【详解】
解：（1）当时，；
当，或时，；
当时，；
当时，；
当，或时，；
当时，；
所以最小的六个元素组成的子集；
（2）存在或存在，一定是集合中的元素.
如：，但，.
一定是集合中的元素.
设，，
则，且，
所以.
4．（2022全国·高一专题练习）数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知关系式，循环代入直到再次出现为止，即可得到集合M中的元素.
（2）假设M中只有一个元素a，则，方程无解，即不可能只有一个.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.
【详解】
（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
【点睛】
本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江苏·高一）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.
【详解】
①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.
故选：C
2．（2022全国·高一课时练习）下列关于集合的说法正确的有（ ）
①很小的整数可以构成集合；
②集合与集合是同一个集合；
③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的定义判断．
【详解】
很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．
集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．
1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．
故选：A．
3．（2022全国·高一课时练习）已知，，若集合，则的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合相等，结合元素的互异性求解.
【详解】
易知，∵，
∴，即，
∴.
∴，解得或.
当时，集合为，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合为}.
∴，.
∴.
故选：C
4．（2022·四川广安·高一期末）下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求解.
【详解】
根据元素与集合的关系可知，，，不正确，
故选：C
5．（2022浙江·高一期中）若，则的可能值为（ ）
A．0，2B．0，1
C．1，2D．0，1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，分，，讨论求解.
【详解】
因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；
∴或.
故选：A
6．（2022福建·三明一中高一阶段练习）如果集合中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
分m=0和m≠0两种情况讨论，可得出结论．
【详解】
当m=0时，显然满足集合有且只有一个元素，
当m≠0时，由集合有且只有一个元素，
可得判别式，
解得，
∴实数m的值为0或2，即实数m的所有可能值的和为2.
故选：B．
7．（2022全国·高一专题练习）设，对关于的方程组的解的说法正确的是（ ）
A．对任意实数，该方程组的解集都是单元素集；
B．至少存在一个实数，使得该方程组的解集为空集；
C．至少存在一个实数，使得该方程组的解集为无限集；
D．对任意实数，该方程组的解集都不是空集.
【答案】B
【解析】
【分析】
方程组的解可以看作是两条直线是否相交及交点个数的问题即可求解.
【详解】
对关于的方程组的解,
即为直线与直线公共点的坐标，
当时，两直线无公共点，即方程组的解集为空集，故AD不正确；
当时，两直线有且只有一个公共点，即方程组有且只有一个解，故B正确，C不正确.
故选：B
8．（2022湖北黄石·高一阶段练习）已知集合，且，则（ ）
A．B．
C．D．不属于中的任意一个
【答案】B
【解析】
【分析】
设出的值，相加再判断得解.
【详解】
.
故选：B
二、多选题
9．（2022安徽·亳州二中高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的正整数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合的元素的特征逐一判断即可.
【详解】
我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
是不大于3的正整数组成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素；
故选：BC
10．（2022福建·泉州科技中学高一阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.
【详解】
当均为负数时，；
当两负一正时，；
当两正一负时，；
当均为正数时，；
∴，A、B错误，C、D正确.
故选：CD
11．（2022全国·高一课时练习）方程组，的解集可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由方程组，解得，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．
【详解】
由题意，方程组，解得，其解集中只含有一个元素，
根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的集合，不符合要求，所以不能表示为．
故选：ABD．
12．（2022江苏常州·高一期中）已知集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.
【详解】
，故，，所以，A错误；
，其中，，故，B正确；
，其中，，故，C正确；
因为，若，此时无意义，故，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断.
【详解】
由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
14．（2022黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）设全集，集合，，且，则实数______．
【答案】3或-1##-1或3
【解析】
【分析】
根据集合相等得到，解出m即可得到答案.
【详解】
由题意，或m=-1.
故答案为：3或-1.
15．（2022湖南·长沙市实验中学高一期中）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
求得的元素，由此确定正确答案.
【详解】
依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：
16．（2022湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）从集合M=中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为______
【答案】1078
【解析】
【分析】
剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果.
【详解】
集合M中，3的倍数有个，5的倍数有个，15的倍数有个，
则剩下的元素个数为个.
故答案为：1078.
四、解答题
17．（2022全国·高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）求出不小于1且不大于17的所有质数，用列举法表示；
（2）所有正奇数有无数个，用描述法表示；
（3）求出绝对值不大于3的所有整数，用列举法表示；
（4）抛物线上的点有无数个，用作为代表元，用描述法表示．
(1)
不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)
所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)
绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)
直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
18．（2022全国·高一课时练习）已知集合，，若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值．
【详解】
因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故.
19．（2022·山西·高一期末）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；
（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.
(1)
解：若，
则有，解得；
(2)
解：，
因为，
所以，解得.
20．（2022贵州毕节·高一期中）已知二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求的解析式．
(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知在上的最小值为b，且______，集合，判断b是否属于集合A，并说明理由．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数图象的对称轴为直线，由求解；
（2）选择①，易知在上单调递减，求得b，再判断；选择②，易知在上单调递增，求得b，再判断.
(1)
解：由题意得，
得，
故．
(2)
选择①，．
图象的对称轴为直线．
当时，在上单调递减，
故．
令，得，不符合题意．
故．
选择②，．
图象的对称轴为直线．
当时，在上单调递增，
故．
令，得，符合题意．
故．
21．（2022全国·高一单元测试）已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证：
(1)若，则S中必有另外两个元素；
(2)集合S中不可能只有一个元素．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题设条件②求出集合的其它元素，即可证结论.
（2）设S为单元素集可得，进而求参数a，即可判断S中是否可能只有一个元素．
(1)
∵，
∴，同理：，，
∴S中还有-1，两个元素.
(2)
不妨设S为单元素集，则，整理得，解得，
∴S不可能为单个元素集合.
22．（2022全国·高一专题练习）数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知关系式，循环代入直到再次出现为止，即可得到集合M中的元素.
（2）假设M中只有一个元素a，则，方程无解，即不可能只有一个.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.
【详解】
（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
【点睛】
本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1
2
3
4
6
1
1
2
3
4
6
2
1
2
3
3
1
2
4
1
6
1