北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共8页。试卷主要包含了 x2-x=0的解是， 定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（每小题3分共36分）


1. x2-x=0的解是（ ）


A. 0或-1 B. 1或0 C. 1 D. 0


2.对一元二次方程x2+2x+5=0的根的情况叙述正确的是（ ）


A.方程有一个实数根 B. 方程有两个不等实数根


C. 方程有两个相等实数根 D. 方程没有实数根


3．关于x的一元二次方程：x2+2x+2a-1=0的一个解是x=1，则a=（ ）


A．- 1 B． 1 C．32 D．2


4. 若关于的一元二次方程x2-x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）


A. m>12 B. m<112 C. m>-112 D. m<-112


5. 由下表估算一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围，其中正确的是（ ）


A. 1.0

6 一元二次方程的根是（ ）


A. B. C. D.


7. 一件衣服的原价是500元,经过两次提价后的价格为621元,如果每次提价的百分率都是,根据题意,下面列出的方程正确的是（ ）


A. B. C. D.


8. 已知x=1是一元二次方程x2+mx-2=0的一个解，则m的值是（ ）


A. 1 B. -1 C. 2 D. -2





9.已知关于x的方程ax2+2x-2=0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）


A. a≥-12 B. a≤-12 C. a≥-12且a≠0 D. a>-12且a≠0


10.某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为，那么应满足的方程是（ ）


A. x=(40%+20%)÷2


B. 100(1+40%)(1+10%)=(1+x)2


C. (1+40%)(1+10%)=(1+x)2


D. (100+40%)(100+10%)=100(1+x)2


11. 摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）


A. 3000(1+x)2=6000 B. 30001+x+3000(1+x)2=6000


C. 3000(1-x)2=6000 D. 3000+30001+x+3000(1+x)2=6000


12. 三角形两边长分别为6和5，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）


A．15或13B．15C．15或17D．13





二.填空题（每小题3分共12分）


13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为_______.


14. .随着数系不断扩大，我们引进新数i，新数满足交换率，结合律，并规定i2=-1：，那么2+i2-i=___________（结果用数字表示）


15. 若一元二次方程ax2-bx-2016=0有一根为x=-3，则3a+b=___


16. 定义一种新运算：a⊗b=a2-ab-3,若x⊗2=0,，则x=_________





三.解答题


17. 解方程：（1）x2-2x-3=0 （2）2(x-3)²=x-3 （3）


18.已知关于的一元二次方程有实数根.


(1)求的取值范围；


(2)若此方程的两实数根满足求的值。








19.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经商场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件。


（1）设每件童装降价元时，每天可销售____________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示）


（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；


（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由。








20.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.


（1）若商场经营该商品一天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？


（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元，求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利最大？





21.将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形。


(1)要使这两个正方形的面积之和等于该怎么剪?


(2)设这两个正方形的面积之和为当两段铁丝长度分别为何值时,有最小值?





22. 苏宁电器销售某种冰箱，每台的进货价为2600元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出8台. 商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？








23如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax²+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.


请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；


（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+2cx+b=0必有实数根；


（3）若x=−1是“勾系一元二次方程”ax²+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积.














答案详解


1. 解析：由方程可得x(x-1)=0，则x=0或1，故选B


2. 解析：△=22-4×1×5<0，方程没有实数根，故选D


3．解析：代入法解题，故选A


4. 解析：由题可得∆=12+12m>0,解得m>-112 ，故选C


5. 解析：考查一元二次方程根的估算，基础题。选B。由表格可看出，14.41<15<15.84 ，∴1.1

6 解析：考查一元二次方程的解法，选B


7. 解析：考查一元二次方程应用题的增长率问题,选C


8. 解析：考查一元二次方程根与系数的关系，基础简单题。代入法解题，选A


9.解析：考查一元二次方程根与系数的关系；中等难度题。


注意题目只说是方程而不是一元二次方程，所以a可以等于0，


当a=0时，方程为2x-2=0,解得x=1,方程有实数根；


当a≠0时，一元二次方程有实数根，∴△=16+8a≥0,∴a≥-1/2，综上所述，a≥-1/2，选A


10. 解析：考查一元二次方程应用题中的增长率问题。直接套用公式，选B.


11. 解析：考查一元二次方程应用题中的增长率问题。直接套用公式，选A


12. 解析：解方程可得x=2或4，依三角形三边关系可得第三边是2或4，故选A


二.填空题（每小题3分共12分）


13.解析：考查一次二次方程根与系数的关系，基础简单题，△=0,∴k=4.


14.解析：考查定义新运算及学生的阅读理解能力，基础题。2+i2-i=4-i2=4--1=5


15. 解析：基础简单题，考点：一元二次方程根与系数的关系；解题方法：代入法


∵一元二次方程ax2-bx-2016=0有一根为x=-3，∴把x=-3代入方程中，得9a+3b-2016=0,∴3a+b=2016÷3=672


16. 解析：x⊗2=x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1


17. 解析：（1）利用十字相乘法解方程，可得：x1=-1,x2=3 （2）解得：x=3,x=3.5


（3）解得：x1=3、x2=.2





18. 解析：考查一元二次方程根与系数的关系，基础简单题.


（1）∵方程有实数根，∴∆=(2k-1)2-4k2+k-1=-8k+5≥0,∴k≤58


（2）由韦达定理可得：x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1,


∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=2k-12-2k2+k-1=11,解得：k1=4,k2=-1,∵k≤58,∴k=4.





19. 解：（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，


（2）根据题意，得：，解得：


答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；


（3）不能，∵，此方程无解，故不可能做到平均每天盈利2000元。





20. 解析：考查一元二次方程的应用，基础题。


（1）设每件商品应降价x元，由题意可列方程：20-x100+10x=2160,解得：x1=2,x2=8


（注意：由于题目没有限制条件，所以两个解都需要保留）


（2）y=20-x100+10x=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250


∵-10<0，∴当x=5时，y最大值=2250





21. 解析：考查一元二次方程应用题及二次函数应用中的最值问题，基础简单题


（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（56÷4-x=14-x）cm，


由题意可列方程得：x2+(14-x)2=100，解得x1=6、x2=8，


6×4=24cm，8×4=32cm，∴这段铁丝剪成两段的长度分别是24cm和32cm；


（2）由题意可得：S=x2+(14-x)2=2x2-28x+196=2(x-7)2+98,∵2>0,∴S随着x增大而增大，当x=7时，S有最小值，14-7=7cm, 7×4=28cm，56-28=28cm，∴这段铁丝剪成两段的长度都是28cm时S有最小值.





22. 解：设每台冰箱价格降低100x元，销售量为8+8x （3000−100x−2600）（8+8x）=5000 解得x=1.5


冰箱定价=3000−100x=3000−100×1.5=2850（元）


答：要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元时。





23. 解析：（1）解：令a=3，b=4则c=5，写出一个“勾系一元二次方程”：3x²+52x+4=0


（2）证明：∵△=（2c）²−4ab=2c²−4ab=2（a²+b²）−4ab=2（a²−2ab+b²）=2（a−b）²≥0


∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²+2cx+b=0必有实数根


（3）解：代入x=−1得a−2c+b=0，∴a+b=2c，由四边形ACDE的周长是62得a+b+a+b+2c=62


∴2（a+b）+2c=62，22c+2c=62，32c=62，c=2，a+b=22


∴2ab=（a+b）²−（a²+b²）=（a+b）²−（c²）=8−4=4，∴ab=2，∴△ABC面积=12ab=1


x
1.0

1.1

1.2

1.3

x2+12x
13

14.41

15.84

17.29