第三讲 导数的简单应用 学案

第三讲　导数的简单应用与定积分(理)

高考考点
考点解读
导数的几
何意义(文)
1.求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标
2．根据过某点切线方程或其与某线平行、垂直等求参数的值
导数与定积分
的几何意义(理)
1.确定或应用过某点的切线的斜率(方程)
2．定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积
利用导数研究
函数的单调性
1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间)
2．根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围．
利用导数研究
函数的极值和最值
1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值
2．根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质．
(2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极(最)值问题的方法和规律．
预测2020年命题热点为：
(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．
(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含ex)，对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sinx，cosx)函数的单调性、极(最)值问题．

Z
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f ′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R)
f(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f ′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f ′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f ′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f ′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝！！！！
f(x)＝ln x
f ′(x)＝！！！！
2.导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.
3．切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝
f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).
4．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)1⇒g(x)在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，
所以a＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x3－3x2＋1，
求导可知在[－1,1]上，
f(x)min＝f(－1)＝－4，f(x)max＝f(0)＝1，
所以f(x)min＋f(x)max＝－3.
7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解析]　(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(2)＝(2a－1)e2，
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)方法一：由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex
若a>1，则当x∈时，f′(x)0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－10.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
方法二：f′(x)＝(ax－1)(x－1)ex.
①当a＝0时，令f′(x)＝0得x＝1.
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．
②当a>0时，令f′(x)＝0得x1＝，x2＝1.
(ⅰ)当x1＝x2，即a＝1时，f′(x)＝(x－1)2ex≥0，
所以f(x)在R上单调递增，
所以f(x)无极值，不合题意．
(ⅱ)当x1>x2，即01，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
↘
极小值
↗
所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)由f′(x)＝axln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ax1ln a.
由g′(x)＝，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有ax1ln a＝，
即x2ax1(ln a)2＝1.
两边取以a为底的对数，得logax2＋x1＋2loga(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－.


例1 (1)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为(1,1).
[解析]　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x>0)在点P处的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是－3.
[解析]　∵y＝ax2＋，
∴y′＝2ax－，
由题意可得
解得
∴a＋b＝－3.
(3)(理)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　C　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
[解析]　对于①， (sinxcosx)dx
＝sinxdx
＝sinxdx
＝(－cosx)|
＝{－cos1－[－cos(－1)]}
＝(－cos1＋cos1)＝0.
故①为一组正交函数；
对于②， [(x＋1)(x－1)]dx＝ (x2－1)dx＝(x3－x)|＝－1－(－＋1)＝－2＝－≠0，
故②不是一组正交函数；
对于③， (x·x2)dx＝x3dx＝(x4)|＝0.
故③为一组正交函数．
故选C.
『规律总结』
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程．
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
3．(理)利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值．
易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．
G
1．(2018·洛阳二模)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( A )
A．9x－y－16＝0　　　 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
[解析]　由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0.
2．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为( C )
A．－1　　　 B．0　　　　
C．1　　　 D．2
[解析]　依题意得，f ′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f ′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，b＝0；
m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
3．(理)由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成的图形的面积是( D )
A． B．
C．ln 2 D．2ln 2
[解析]　由定积分的几何意义，得围成的面积dx＝ln x|2＝ln 2－ln＝ln 4＝2ln 2.

例2 (2018·河南息县第一高级中学段测)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝2x－，
令f′(x)>0，得x>1；
令f′(x)