2023届高考数学二轮复习专题三函数与导数第三讲导数的简单应用学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题三函数与导数第三讲导数的简单应用学案，共9页。
专题三 函数与导数  第三讲 导数的简单应用 （一）考点解读高考考点 考点解读导数的几何意义1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）2.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.利用导数研究函数的极值和最值 1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围（二）核心知识整合考点1：导数的几何意义1.基本初等函数的八个导数公式原函数导函数αxα－12. 导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）.3.复合函数的求导公式设函数均可导，则复合函数也可导，且.即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.4.切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). [典型例题]1.已知函数，则(   )A. B.1 C. D.[答案]：C[解析]　 ，，，当时，.故选C.2.已知函数，其导函数记为，则(   )A.2 B.-2 C.3 D.-3[答案]：A[解析] 由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故选A.『规律总结』1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．[跟踪训练]1.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(   )A. B. C. D.[答案]：D[解析]　 ，.由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，.，，故选D.2.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析] 由题意，得的定义域是R，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，则，所以.又，所以切线方程是，即.故选C.考点2：利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x0)>0那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x0)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减..[典型例题][典型例题]1.已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析]　 由成立，可得.设，则存在，使得成立，即.又，当且仅当，即时取等号，所以.故选C.2.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则(   )A.， B.，C.， D.，[答案]：D[解析] 令，则，所以函数在R上单调递减，所以，，即，，故，.故选D.『规律总结』1．导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间．(2)函数f(x)在D上单调递增⇔∀x∈D，f ′(x)≥0且f ′(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D上单调递减⇔∀x∈D，f ′(x)≤0且f ′(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零． 2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f ′(x)．(2)将单调性转化为导数f ′(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解． 提醒：在求函数单调区间时，要满足定义域优先原则，首先要考虑函数的定义域，以免单调区间求错.[跟踪训练]1.若在是减函数，则m的取值范围是(   )A. B.  C. D. [答案]：C[解析]  在是减函数，在​恒成立，时，在递减，符合题意，时，只需在恒成立即可，
即，因为，则，
综上，故选C．
2.已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为(   )A. B. C. D.[答案]：D[解析] 由已知得，因为在区间上是增函数，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以.故选D.考点3：利用导数研究函数的极值和最值1.函数的极值a.函数的极值的定义一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）<f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）；（2）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.b.求函数极值的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）. 2. 函数的最值（1）函数的最小值与最大值定理若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值；在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.（2）通过导数求数最值的的基本步骤：若函数y=f（x）在闭区间[a，b]有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数y=f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数f（x）在（a，b）内的导数；②求方程f（x）=0在（a，b）内的根；③求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值，最小者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值. [典型例题]1.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析]  易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.2.已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为(   )A.1 B.2 C.3 D.-1[答案]：A[解析]  因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.故选A.『规律总结』1．利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤．①求定义域；②求导数f ′(x)；③解方程f ′(x)＝0，研究极值情况；④确定f ′(x0)＝0时x0左右的符号，定极值．(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f ′(x)＝0根的大小或存在情况来讨论求解．(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．提醒：(1) 求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2) 求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3) 对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论．[跟踪训练]1.已知函数，过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析]  设切点坐标为.因为，所以，即，解得或.因为，所以，即，则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.故选：A.2.已知函数的导函数的最小值为4，则的取值范围是(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析] 由题可知，则(当且仅当时等号成立)，，即，即，结合得，且令，则当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的取值范围是，函数的取值范围是，即的取值范围是，故选C.