2019届二轮复习第4讲　导数的简单应用学案（全国通用）

第4讲　导数的简单应用

1.【引·全国卷】
[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　. 
【荐·地方卷】
[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 (　　)
A.y=sin x　　　B.y=ln x　　　C.y=ex　　　D.y=x3
[试做]   _________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________命题角度　曲线的切线问题
(1)解决曲线的切线问题:关键一,搞清楚是在某点处的切线,还是过某点的切线;
关键二,利用导数的几何意义求出曲线在该点处的切线的斜率;
关键三,关注切点的双重性,即切点既在切线上,也在曲线上.
(2)直线与曲线有一个公共点不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点.
2.(1)[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,1]　　　　　　　B.-1,
C.-, D.-1,-
(2)[2014·全国卷Ⅱ] 若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
[试做]   _________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________命题角度　利用导数解决函数单调性问题
(1)利用导数解决函数单调性问题:
关键一,对函数求导;
关键二,令f'(x)>0,f'(x)0 恒成立,则导函数的图像在区间D上恒在x轴的上方;导函数在某个区间D上有f'(x)0时,f'(x)=ecos x
(xsin x-1),令ecos x(xsin x-1)=0,可得xsin x=1,当x=时,sin=1,所以xsin x=1的一个根x1落在,内,并且x∈(0,x1)时,f'(x)1,当x=π时,πsin π=00,当-20,结合选项可知只有C符合题意,故选C.
【自我检测】
1.D　[解析] y'=-4x3+2x=-2x(x-1)(x+1),易知当x>0时,函数y=-x4+x2+2在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,又函数y=-x4+x2+2为偶函数,故选D.
2.A　[解析] ∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,∴函数y=f(x)图像的切线斜率越来越大.A中函数图像的切线斜率越来越大,满足条件;B中函数图像的切线斜率越来越小,不满足条件;C中函数图像的切线斜率是常数,不满足条件;D中函数图像的切线斜率先越来越大,然后越来越小,不满足条件.故选A.
3.1　[解析] 由函数的图像可知,x=2为函数的极大值点,x=-1为函数的极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根.由f(x)=ax3+bx2+cx+d得f'(x)=3ax2+2bx+c,由f'(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(-1)=-=1,-1×2==-2,即c=-6a,2b=-3a,故f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),则===1.
小题3
例3　(1)D　(2)(-∞,-1)∪(1,+∞)　[解析] (1)因为(2-x)f'(x)≤0,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(1)≥f(2),当x>2时,f'(x)≥0,所以f(3)≥f(2),则f(1)+f(3)≥2f(2).故选D.
(2)f'(x)=x2-2ax+1,由于函数f(x)=x3-ax2+x在(-∞,+∞)上不是单调函数,所以方程x2-2ax+1=0有2个实数根,可得Δ=4a2-4>0,解得a>1或a0,解得x>,故函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为,+∞,故选D.
2.D　[解析] 根据题意,函数f(x)=ax3+x2+ax+1,其导函数f'(x)=ax2+2x+a.若函数f(x)=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则f'(x)=ax2+2x+a有2个不同零点,则有Δ=4-4a2>0,且a≠0,可得-10,当x>e时,h'(x)0,当x>时,f'(x)0,所以x=是函数f(x)的极小值点,符合题意.所以数列{xn}中,x1=.故选D.
例2　[配例4使用] 已知a∈R,若f(x)=x+ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点,则a的取值范围是 (　　)
A.a>0 B.a≤1
C.a>1 D.a≤0
[解析] A　当a=0时,f(x)=xex,f'(x)=(1+x)ex>0在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增,没有极值点,故排除B,D.当a=1时,f(x)=x+ex,f'(x)=1+x+-ex=·ex,令g(x)=x3+x2+x-1,则g'(x)=3x2+2x+1>0在(0,1)上恒成立,故函数g(x)在(0,1)上单调递增,又g(0)=-1,g(1)=2,所以g(0)·g(1)