陕西省西安中学2021届高三上学期第四次月考 数学（理） (含答案) 试卷

西安中学高2021届高三第四次月考数学（理）试题  一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）若集合，，则等于          A.  B.  C.  D. 已知平面内有三点，，，则向量在方向上的投影为      A.        B.          C.            D. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则A. 8 B. 6 C. 5 D. 4中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是     A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过
B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的
C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多如图,某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A.  B.      C.      D. 在的展开式中，常数项等于（    ）  A. 15 B.16 C.  D. 已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则A. 2               B.          C. 4           D. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为A. 150 B. 180 C. 200 D. 280设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则A.  B.  C.  D. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为A.  B.  C.  D. 已知直线与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离的最大值为      A. 5 B. 4 C. 3 D. 2设椭圆E：的一个焦点为，点为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是      A.  B. C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知变量x，y满足，则的取值范围是_________．设是公差不为零的等差数列的前n项和，且则________．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且，的最大值为______．三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题.（共60分）（12分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积．   1求A；2作角B的平分线交边AC于点O，记和的面积分别为，，求的取值范围．（12分）已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
 证明：平面平面ABC；若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．
求未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（12分）已知椭圆C：过点，且离心率为．求椭圆C的方程；若斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点，求k的取值范围．（12分）已知函数，其中．
讨论的单调性；
若有两个极值点x，x，证明：．（二）选考题.（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.）（10分）在平面直角坐标系中，曲线是圆心在(0，2)，半径为2的圆，曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求曲线的极坐标方程；(2)若曲线与两坐标轴分别交于两点，点为线段AB上任意一点，直线OP与曲线交于点M（异于原点），求的最大值．（10分）已知，且．1求证：；2当时，不等式恒成立，求a的取值范围．  西安中学高2021届高三第四次月考数学（理）答案  一、选择题：123456789101112DCBCDDBADABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、    14、18    15、    16、三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17、解：，
整理得，
因此，
又，
所以；
 2 ，
由正弦定理得：，
因为，
，
所以.18、解：证明：设AC的中点为O，连接，
由题意，得，，
因为在中，为AC的中点，
所以，
因为在中，，，
所以，
因为，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
因为平面PAC，
所以平面平面ABC；
由知，，
平面PAC，平面PAC，
平面PAC，
所以就是直线BM与平面PAC所成的角．
且，
所以当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．
由平面，所以，
于是以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设平面MBC的法向量为，则，得，
令，得，即，
取平面ABC的法向量为，，
由图可知，二面角的余弦值为．19、解：依题意，得，
，
．
由二项分布，记“在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120”为事件A，
记水电站年总利润为单位：万元．
安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，．
安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得Y的概率分布列如下：Y420010000 P所以．
安装3台发电机的情形：
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
因此；
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此得Y的概率分布列如下：Y3400920015000 P所以，．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．20、解：设椭圆C的焦距为2c，
因为椭圆过点，所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以椭圆C的方程为．
设直线l的方程为，直线l与椭圆C交于两点，，
由，
消去y并整理得，
直线与椭圆有两个交点，
，即，
因为，
所以，
设线段MN的中点为，则有．
所以线段MN的垂线平分线方程为．
因为线段MN的垂线平分线过点，
所以．
因为，
所以，即．
解得或．
所以k的取值范围是．21、解：由题得，其中，
令，其中对称轴为，．
若，则，此时，则，所以在上单调递增；
若，则，此时在R上有两个根，，且，所以当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由知，当时，有两个极值点，，且，，所以
令，，则只需证明，
由于，故在上单调递减，
所以．
又当时，，，
故，
所以，对任意的，．
综上，可得．22、解： (1) 解法一：设曲线与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E，且曲线上任意点F，边接OF，EF，则OF⊥EF，在△OEF中，，解法二：曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线的极坐标方程为；（2）因曲线的参数方程为，与两坐标轴相交，所以点，所以线段极坐标方程为，，,，当时取得最大值为． 22、由柯西不等式得：
，
，当且仅当时取等号，
；
（2），，
当且仅当时等号成立，
要使得不等式恒成立，
即可转化为，
，

的取值范围为：