陕西省西安中学2021届高三上学期第二次月考数学（理）试题 Word版含解析

这是一份陕西省西安中学2021届高三上学期第二次月考数学（理）试题 Word版含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出全集，再根据补集的定义计算即可；
【详解】解：∵集合，集合，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查补集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
2. 如图是某省从3月1日至3月31日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．
若该省从3月1日至3月31日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn，则下列有关数列{Sn}说法中正确的是（ ）
A. 数列{Sn}为先增后减数列B. 数列{Sn}为递增数列
C. 数列{Sn}最大项是 S12D. 数列{Sn}的最大项是S31
【答案】D
【解析】
【分析】
本题先根据变化曲线图得到当时，，，，再来判断的增减情况与最值情况即可解题.
【详解】解：有题意：当时，，，，
所以在时，单调递增，，，
所以数列的最大项是，
故选：D.
【分析】本题考查根据的值判断的增减性与最值，还考查对曲线图中数据的提取，是基础题.
3. 在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是( )
A. 相交且垂直B. 共面C. 平行D. 异面且垂直
【答案】D
【解析】
由题意易知：直线，∴又直线与直线异面直线，
故选D
4. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是（ ）
A. 160B. -160C. 240D. -240
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质，为偶数时，最大直接计算即可.
【详解】解：因为，为偶数，展开共有7项，故为二项式系数最大的；
故的展开式中的二项式系数最大的项为．
其系数为-160．
故选：B.
【点睛】本题考查二项式系数的性质，考查运算能力，是基础题.
5. 通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，计算得．参照临界值表，得到的正确结论是（ ）
A. 有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”
B. 有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”
C. 有99.9%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”
D. 有99.9%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【分析】
由卡方检验值，结合临界值表写出列联表所反应的事件在多大程度上相关，卡方值越大，相关可能性越高.
【详解】由，结合临界值表可得有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”，或在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”，
故选：A.
【点睛】本题考查了根据独立检验的卡方值，描述事件相关程度，属于简单题.
6. 已知等比数列满足，，，若的前项和为，则为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等式以及可求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，由得，可得，
解得或，
，，则，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.
7. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：，则，）
A. 2718B. 1359C. 340D. 906
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件，由正态分布，求出阴影部分的面积，求出点落在阴影部分的概率，进而可得出结果.
【详解】∵，
所以阴影部分的面积
，
则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为．
故选：C.
【点睛】本题主要考查由正态分布求指定区间的概率，涉及与面积有关的几何概型的应用，属于常考题型.
8. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出事件发生的概率和事件发生的概率，利用条件概率公式代入计算得出答案．
【详解】事件为“取到的2个数之积为偶数”， 事件为“取到的2个数之和为偶数”，
则
故选：B
【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9. 如图所示的程序框图，是为计，则在空白判断框中应填入的是（ ）
A. B. ？C. ？D. ？
【答案】A
【解析】
【分析】
根据程序框图，确定，由框图的作用，即可得出结果.
【详解】由程序框图可得，中的，，
则空白判断框应填，
故选：A.
【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，属于基础题型.
10. 已知，则命题，为假命题的概率（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出使命题，为假命题时的取值范围，再利用几何概型即可求解.
【详解】解：∵命题，为假命题，
即，为真命题，
①当时，原式显然成立；
②当时，对称轴大于0，只需，解得，
故当时，命题，假命题．
故所求概率为．
故选：D
【点睛】本题考查了几何概型、含有一个量词命题的真假求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
11. 若，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. -1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果.
【详解】因为，
令可得；
令可得：；
故．
故选：C.
点睛】本题主要考查利用赋值法求值，考查计算能力，属于较易题.
12. 设，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知式，凑配出定值后用基本不等式求得最小值．
【详解】∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
13. 汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有__________种．（用数字作答）
【答案】243
【解析】
【分析】
由每位乘客可以在任意的车站下车，得到每位乘客下车的情况有3种，然后利用分步计数原理求解.
【详解】因为每位乘客可以在任意的车站下车，
所以每位乘客下车的情况有3种，
所以5名乘客下客站的方法有种．
故答案为：243
【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.
14. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________．
【答案】2.9
【解析】
【分析】
先建立方程求解得，再判断的取值范围，最后建立方程求解得.
【详解】解：由题意：，解得，
因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，
所以．
所以，解得，
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
故答案为：2.9
【点睛】本题考查补全频率分布直方图、根据频率分布直方图估值，是基础题.
15. 2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北.某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分步计数原理，先求分医生的方案数，再求分护士的方案数，两者相乘得到总的方案数；求医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案数，再求剩下的2名医生分到另两家医院的方案数，再求剩下的4名护士分到另两家医院的方案数，三者相乘得到医生甲和护士乙分到同一家医院的方案数，则概率可求.
【详解】解：3名医生分到三家医院的方案有，6名护士分到三家医院的方案有，
所以分配方案共有.医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案有，剩余的2名医生分到另2家医院方案有，剩余的4名护士分到另2家医院方案有，所以医生甲和护士乙分到同一家医院的方案共有，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.
故答案为：
【点睛】考查分步计数原理和古典概型的应用，基础题.
16. 已知长方体的体积为144，点是正方形的中心，点都在球的球面上，其中球心在长方体的内部.已知球的半径为，球心到底面的距离为，则______.过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是______.
【答案】 (1). 4 (2).
【解析】
【分析】
根据长方体的体积可求得，分析可知，当截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出，截面圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知正方形的对角线长为，
则正方形的边长为，
故长方体的体积为，解得.
当截面时，截面面积达到最小，此时，
则截面圆半径，
故截面圆的面积为.
故答案为：4；.
【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)
（一）必考题：共60分．
17. 在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时向t之间对应的一组数据：
（1）试求腐蚀深度y关于时间t的回归直线方程；
（2）请预测第100秒时产品表面的腐蚀深度．（计算结果保留小数点后两位）．
（可能用到的公式与数据：，其，，，，，）
【答案】（1）；（2）33.25．
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法代入求解即可得到y关于时间t的回归直线方程；（2）当时，代入（1）的解析式求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
，
，
所以腐蚀深度y对时间t回归直线方程为：．
（2）当时，
．
即预测第100秒时产品表面的腐蚀深度为33.25m．
【点睛】本题主要考查了利用最小二乘法求回归直线方程以及求值问题，考查了运算求解能力.属于较易题.
18. 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H，设面PAB与面PDE的交线为l．
（1）求证：面FGH；
（2）若底面ABCDE，且，求直线BC与平面ABF所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先利用线面平行的判定定理证出平面PDE，再利用线面平行的性质定理证出，，则，再利用线面平行的判定定理证明即可. （2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小即可.
【详解】解：（1）证明：在正方形AMDE中，
∵B是AM的中点，
∴，
又∵平面PDE，平面PDE，
∴平面PDE，
∵平面PAB，且平面平面，
∴，
又∵平面ABF，且平面平面，
∴，则，
∵平面FGH，平面FGH，
∴面FGH．
（2）∵底面ABCDE，
∴，，
以A为坐标原点，分别以AM，AE，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
，
设平面ABF的一个法向量为，
由，取，得．
设直线BC与平面ABF所成角为，
∴．
因此，直线BC与平面ABF所成角的大小为．
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及性质定理，考查了利用空间坐标系解决线面角的问题，属于中档题.
19. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.
【详解】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到个礼品果的概率为：
（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.
20. 在①，
②，
③，
这三个条件中任选一个，补充在下面问题（1）中，并对问题（1）（2）进行解答问题：
（1）是否存在等差数列，它的前n项和为，公差为d，且，，__________？
（2）在第（1）问求得的数列中，设，求S．
【答案】选择任一条件，都有（1）存在满足题意；（2）．
【解析】
【分析】
（1）选择条件①，可知为等差数列，可由此求出公差；选择条件②，可由裂项相消法求出公差；选择条件③，可由求出公差；
（2），，…，是以为首项，5d为公差的等差数列，由等差数列求和公式即可求出.
【详解】解：（1）选择条件①：∵是等差数列，，
∴，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴，．
选择条件②：∵是等差数列，
∴，
∴
，
∵，
∴，．
选择条件③：∵是等差数列，
∴
，
∵，
∴，．
（2），，…，是以为首项，5d为公差的等差数列共项
∴．
【点睛】本题考查等差数通项和数列前n项和公式的应用，属于基础题.
21. 设函数.
（1）若当时取得极值，求的值以及函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：.
【答案】（1）；单调增区间为，，单调减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1），时，取得极值，所以，解得：，再根据的正负即可得到函数单调性；
（2），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，，，而等价于，构造函数即可得解.
【详解】（1），
∵时，取得极值.∴，.
∴，
解得，或；解，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为.
（2），
∵存在两个极值点，∴方程，
即在上有两个不等实根.
∵，，，
∴.
∴所证不等式等价于，
即.
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，∴成立.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用韦达定理搭桥各个量之间的关系，同时考查了构造法及转化思想，计算量比较大，需要较高的思维能力，属于难题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为．
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）当时，若射线l与曲线和圆分别交于异于点O的M、N两点，且，求的面积．
【答案】（1）曲线的极坐标方程：，曲线的极坐标方程：；（2）．
【解析】
【分析】
（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由，可得答案；
（2）利用极径和极角的几何意义可求得，进而求出点到l的距离，由此可求得的面积．
【详解】解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的普通方程为：，又，，
代入可得，
∴曲线的极坐标方程：；
由圆的方程为，得，
∴，得曲线的极坐标方程：；
（2）∵，∴，
即，
整理得，且，
解得：，，，
点到l的距离，
∴的面积为：
．
【点睛】本题主要考查极坐标与参数方程，考查转化与化归思想，属于基础题．
23. 若，，且.
（1）求的最小值；
（2）记（1）中的最小值为，若，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）由基本不等式，可知，令，可得，可求出的取值范围，进而可求出答案；
（2）由（1）知，则，使不等式成立，求出的最小值，令，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，当且仅当时等号成立，
令，则且，
所以，整理得，解得或，
因为，所以，即，解得.
所以的最小值为2.
（2）由（1）知，则，使不等式成立，
因为，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式存在解问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
爱好
不爱好
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50

0.010
0.005
0.001
K
6.635
7.879
10.828
时间
5
10
15
20
35
40
50
深度（）
6
10
10
13
16
17
19
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
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