【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.1空间几何体练习

9.1 空间几何体核心考点·精准研析考点一　空间几何体的结构特征 1.以下命题:①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③以矩形的任意一边所在直线为轴,其余三边旋转一周所得的旋转体是圆柱;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为 (　　)A.0  B.1  C.2  D.32.以下四个命题中真命题为 (　　)A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.直四棱柱是直平行六面体D.棱台的侧棱延长后必交于一点3. 下列结论:①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是 (　　)A.①② B.②③ C.①③ D.②④4.若四面体的三对相对棱分别相等,则称之为等腰四面体,若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之为直角四面体,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为              (　　)A.2,8   B.4,12  C.2,12  D.12,8【解析】1.选B.由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.2.选D.对于A,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故A是假命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故B是假命题;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故C是假命题;由棱台的定义知D是真命题.3.选D.①所取的两点的连线与圆柱的轴所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符.③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.4.选A.因为矩形的对角线相等,所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有8个直角四面体.　解决空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.【秒杀绝招】优选法解T2,根据棱台的概念知,所有侧棱交于一点,故D正确,A,B,C可以不予考虑.考点二　空间几何体的三视图与直观图 【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为               (　　)A.1  B.2  C.3  D.4【解题导思】序号联想解题1由直观图及俯视方向联想俯视图的形状2由三视图,想到还原为直观图后加以判断【解析】1.选A.由直观图可知选A.2.选D.由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中阴影部分),利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面全部是直角三角形.1.由几何体的直观图求三视图需要注意的两个问题(1)注意主视图、左视图和俯视图的观察方向.(2)注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.2.根据三视图还原几何体实物的基本思想(1)仔细分析和认真观察三视图,进行充分的空间想象.(2)结合三视图的形状,从不同的角度去还原.1.(2020·芜湖模拟)某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面,如图是它们的三视图,则货架上的红烧牛肉方便面至少有              (　　)A.8桶  B.9桶  C.10桶 D.11桶【解析】选B.易得第一层有4桶,第二层最少有3桶,第三层最少有2桶,所以至少有9桶,故选B.2.(2018·全国卷I)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为              (　　)A.2   B.2C.3    D.2【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN==2.考点三　空间几何体的表面积与体积 命题精解读1.考什么:(1)考查求几何体的表面积与体积.(2)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2.怎么考:(1)由三视图还原几何体形状,再求表面积或体积.(2)与平行、垂直的性质、判定相结合考查.3.新趋势:以柱、锥、台、球为载体,结合线面垂直等知识考查.学霸好方法空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.求空间几何体的表面积或侧面积【典例】(2018·全国卷I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)A.12π  B.12π C.8π  D.10π【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π.面积为8的正方形截面的边长与圆柱的高及底面半径有何关系?提示:正方形边长与圆柱高相等,是底面半径的2倍.求空间几何体的体积【典例】(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g.              【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),V=6×6×4-×12×3=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.8(1)求制作该模型所需原料的质量实际是求面积还是体积问题?提示:体积问题.(2)模型的体积与长方体体积和四棱锥体积之间有何关系?提示:模型的体积是长方体体积和四棱锥体积之差.1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为　　　　. 【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以S=2×(4+3+12)+2π-2π=38.答案:382.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (　　)A.   B.   C.   D.【解析】选B.由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积为V=2V正四棱锥=2××12×=.3.(2020·吉安模拟)已知三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为              (　　)A.π  B.π  C.2π  D.3π【解析】选D.三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设外接球半径为r,则2r==,r=,外接球的表面积S=4πr2=3π.1.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 (　　)A.π B. C. D.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面,r=BC=,那么圆柱的体积V=πr2h=π××1=π.2.(2020·合肥模拟)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的《京地景物略》一书中才正式出现,如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为              (　　)A.(8+8+16)π   B.(8+4+16)πC.(8+8+4)π   D.(8+4+4)π【解析】选B.由三视图知,该几何体是上部为圆锥,中部为圆柱,下部为圆锥的组合体,根据图中数据,计算该陀螺的表面积为S=×4π×2+1×4π+42·π-22·π+×8π×=(8+4+16)π.3.圆锥的全面积为15π cm2,侧面展开图的圆心角为60°,则该圆锥的体积为　　　　cm3. 【解析】设底面圆的半径为r cm,母线长为a cm,则侧面积为×(2πr)a=πra.由题意得解得故圆锥的高h==5,所以体积为V=πr2h=π××5=π(cm3).答案:π