【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.3平行关系练习

9.3 平行关系核心考点·精准研析考点一　直线、平面平行的基本问题 1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是 (　　)A.OQ∥平面PCD B.PC∥平面BDQC.AQ∥平面PCD D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是 (　　)A.α∩β=a,bα⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,aα,bα⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　. 【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,bα,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,aα,bα,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形　直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二　直线、平面平行的判定与性质 【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为　. 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF. 【解题导思】序号联想解题1由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.2求证A1C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A1C平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在△BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=·=.答案:2.如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C⊈平面DEF,DK平面DEF,所以A1C∥平面DEF.1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊈α,bα,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,aα⇒a∥β;α∥β,a⊈β,a∥α⇒a∥β).1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为　. 【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图所示,已知四棱锥P-ABCD,BC∥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.证明:CE∥平面PAB.【证明】设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EF∥AD,且EF=AD.又因为BC∥AD,BC=AD,所以EF∥BC,且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,又BF平面PAB,CE⊈平面PAB,所以CE∥平面PAB.【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法:扫码听名师讲解方法一:分别延长AB,DC交于点F,连接PF,BC=AD,则FC=CD,又ED=EP,则EC∥PF,因为EC⊈平面PAB,PF平面PAB,所以EC∥平面PAB.方法二:取AD的中点M,连接EM,CM,EM∥PA,EM⊈平面PAB,PA平面PAB,EM∥平面PAB,又BCAD=AM,四边形ABCM为平行四边形,则CM∥AB.CM⊈平面PAB,AB平面PAB.CM∥平面PAB,EM∩CM=M,则平面ECM∥平面PAB,因为CE平面ECM,所以CE∥平面PAB.考点三　面面平行的判定与性质及平行的综合问题 命题精解读1.考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2.怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.3.新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.学霸好方法1.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.面面平行的判定与性质【典例】1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊈平面BCHG,BC平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,所以A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.又因为A1E⊈平面BCHG,GB平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF=E,A1E,EF平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A,AA1=AC,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,写出作图步骤,但不要求证明. 【解析】如图,在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N,连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求作的直线.平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.              【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG平面PAD,FE⊈平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:·a=·a,所以x=a,即PA=a,所以PC=a.又CE==a,所以=,所以==,即GE=CD=a,所以AF=a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为 cm. 【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以==,因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以=,解得BC= cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,点M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD.(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.【解析】(1)如图,取PD的中点H,连接AH,NH,由点N是PC的中点,知NH∥DC,NH=DC.由点M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC,所以NH∥AM,NH=AM,即四边形AMNH是平行四边形.所以MN∥AH.又因为MN⊈平面PAD,AH平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,因为点M是AB中点,所以点Q是PB的中点.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________________. 【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由==,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD