【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.7.1利用空间向量求线线角与线面角练习

9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角

核心考点·精准研析

   考点一　异面直线所成的角   

1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为              (　　)

A.    B.   C.   D.

2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为              (　　)

A.   B.    C.    D.

3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是________________. 

4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为________________.             

【解析】1.选C.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),

所以=(-1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为α,

则cos α=|cos?,?|==.

2.选C.建立如图所示空间直角坐标系.

设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).

所以cos<,>==

=

=.

3.如图建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),

C(0,1,0),所以=(a,0,2),=(0,1,-2),所以

===,解得a=1,所以棱AB的长度是1.

答案:1

4.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E,A ,

所以=,=+=+λ=+

λ=,所以cos<,>===

,解得λ=(λ=-舍去).

答案:

　求异面直线所成的角的两个关注点

(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,

是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.

(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0,,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所以要注意二者的区别与联系,应有cos θ=|cos α|.

【解析】选C.由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体.

建立如图所示空间直角坐标系.

设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),

所以=(-1,-1,2),=(0,1,2).

所以cos<,>=

===.

考点二　直线与平面所成的角 

【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.             

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD.

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

【解题导思】

【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,

所以BF⊥平面PEF.

又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.

(2)方法一:作PH⊥EF,垂足为H.

由(1)得,PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,设正方形ABCD的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得,DE⊥PE.

又DP=2,DE=1,所以PE=.

又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.

可得PH=,EH=.

则H(0,0,0),P,D,=,=为平面ABFD的一个法向量.

设DP与平面ABFD所成角为θ,

则sin θ===.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

方法二:因为PF⊥BF,BF∥ED,所以PF⊥ED,

又PF⊥PD,ED∩DP=D,所以PF⊥平面PED,

所以PF⊥PE,

设AB=4,则EF=4,PF=2,所以PE=2,

过P作PH⊥EF交EF于H点,

由平面PEF⊥平面ABFD,

所以PH⊥平面ABFD,连接DH,

则∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角,

由PE·PF=EF·PH,所以PH==,

因为PD=4,所以sin∠PDH==,

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

　利用向量法求线面角的方法

　(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);

(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.

(1)求证:DF∥平面B1AE.

(2)若AA1⊥底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.

【解析】(1)设G为AB1的中点,连接EG,GF,

因为FG?A1B1,又DE?A1B1,

所以FG?DE,所以四边形DEGF是平行四边形,

所以DF∥EG,又DF⊈平面B1AE,EG⫋平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.

 (2)因为ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t>0),

则A(0,0,0),E,,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),

=,,0, =(,-1,t),=(0,2,t),

设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),

则n·=(x+y)=0且n·=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则sin θ===,解得t=2,故线段AA1的长为2.