人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计

1.2.2函数的表示法（2）（教学设计）

教学目的：

（1）       了解映射的概念及表示方法。

（2）       会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识。

教学重点：映射的概念

教学难点：映射概念的理解

教学过程：

一、  复习回顾，新课引入

1、  函数的常用表示法

2、  分段函数

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；

（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；

（3）分段函数的求解策略：分段函数分段解。

3、复习初中常见的对应关系

（1）对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应。

（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序数对(x,y)和它对应。

（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应。

（4）班级的座位都有唯一的同学与之对应。

4、函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数。

二、师生互动，新课讲解：

函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．

例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B，对应关系：国家对应它的首都．

这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应称为映射．

一般地，我们有：

映射定义：设，是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有惟一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射(mapping),记作

                   ．

练习  判断下列对应是不是从到的映射？

解：图甲不是映射，因为集合中的一个元素对应了集合中的两个元素；

图乙是映射，符合映射的定义；

图丙是映射，虽然，集合中有的元素没有中的元素与之对应，但仍符合映射的定义；

图丁不是映射，因为集合中的每一个元素都要对应集合中的元素，但是中的元素没有对应中的元素．

说明：

①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射

②这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

③“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

例1（课本P22例7）以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？

（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应。

（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|xR,yR},对应关系f：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。

（3）集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生。

解：（略）

   变式训练1：

（1），，；

（2），，；

（3），，．

上述三个对应（2）        是到的映射．

例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：

(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|； 

(2)A=N,B=，f:x→|x-2|；

(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.

[分析] (1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；

(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；

(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.

变式训练2：设集合，，从到有四种对应如图所示：

其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．

课堂练习：（课本P23练习NO：4）

例3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．

                                     1  (x-1)

变式训练3：(tb0108401)画出函数y=     x2  (-1<x<1)        的图象。

                                    (x+1)  (x1)

三、  课堂小结，巩固反思

（1）理解映射的概念；

（2）映射与函数的区别与联系。

四、  布置作业：

A组：

1.已知，若，则的值是（ D    ）

A.     B. 或     C. ，或     D.

2.在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（  A    ）

A.  B.    C.    D.

3.下列各组函数中，表示同一函数的是（  C   ）

A.             B.

C.          D.

4.下列图象中不能作为函数图象的是（   B   ）

5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，B中的20对应在A的是(  C    )

 A.2 B.3 C.4 D.5

6.函数的定义域是_____________________  （答：）

7、（课本P24习题1.2A组NO：3）

B组：

1. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框 架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.