2021学年1.2.2函数的表示法教学设计

函数的表示法

●三维目标

1．知识与技能

(1)进一步理解函数概念，使学生掌握函数的三种表示：解析法，列表法，图象法；

(2)能够恰当运用函数的三种表示方法，并借此解决一些实际问题；初步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程与方法

(1)通过三种方法的学习，渗透数形结合的思想；

(2)在运用函数解决实际问题的过程中，培养学生分析问题的能力，增强学生运用数学的意识．

3．情感、态度与价值观

让学生体会数学在实际问题中的应用，培养学生学习兴趣．

●重点难点

重点：函数的三种表示方法．

难点：根据不同的实际需要选择恰当的方法表示函数．

(1)重点的突破：从学生已有的知识经验出发，以函数的三种表示方法为切入点，倡导学生自学，教师借助多媒体向学生展示现实生活中大量函数关系，让学生在感受函数关系所描述的客观世界的同时体会函数的三种表示方法，并感知每种表示方法的优劣性，抓住关键，突出重点；

(2)难点的解决：通过具体实例让学生在自学、质疑、尝试、归纳中体会三种表示方法的特点以及之间的联系，感受三种方法各有所长，彼此互补，从不同的角度看待函数，渗透函数思想

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【问题导思】　

　某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔，每支铅笔的价格为0.5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．

1．函数的定义域是什么？

【提示】　{1,2,3,4,5}

2．y与x有何关系？

【提示】　y＝0.5x

3．试用表格表示y与x之间的关系．

【提示】　表格如下：

4.试用图象表示y与x之间的关系．

【提示】　图象如下：

　某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

【思路探究】　函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000,6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．

【自主解答】　(1)列表法：

(2)图象法：如图所示．

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．

1．本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应标明定义域．

2．函数三种表示方法的优缺点

(1)解析法．

优点：①简明、全面概述变量之间的关系；②利用解析式可以求任意函数值．

　缺点：不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式．

(2)图象法．

优点：能形象直观表示函数的变化情况．

缺点：只能近似求出函数值且有时误差较大．

(3)列表法．

优点：不用计算可直接看出与自变量对应的函数值．

缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值．

(2013·大连高一检测)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.

【解析】　由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．

由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.

由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，

∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2. ∴x＝1.

【答案】　1　1

　(1)已知f(x)是一次函数且f(f(x))＝2x－1，则f(x)＝________.

(2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)的解析式为_____．

(3)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．

【思路探究】　(1)用待定系数法；(2)用方程组法；(3)用配凑法或换元法．

【自主解答】　(1)∵f(x)为一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

又∵f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，

∴∴或

∴f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.

【答案】　x＋1－或－x＋1＋

(2)因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，将x换为－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－.

【答案】　f(x)＝－3x－

(3)法一　f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，其中＋1≥1，故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.

法二　令＋1＝t，则x＝(t－1)2且t≥1，

函数f(＋1)＝x＋2可化为f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，

故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.

　求函数解析式的四种方法

(1)待定系数法：适用于已知函数的类型的情况，如一次函数、二次函数等，先把函数设出来，再解系数．

(2)配凑法：适用于已知解析式等号两边的形式接近，易于找关系的情况．

(3)换元法：适用于大多数情况．换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．

(4)方程组法：这种方法针对于特殊题型，如同时出现f(x)和f(或f(－x))时，需要把f(x)、f(或f(－x))分别看作一个整体．通过解方程组消去不需要的f(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．

已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

【解】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.

∴解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.

　作出下列函数的图象：

(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．

【思路探究】　看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图．

【自主解答】　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．

(2)∵x∈[0,3)，∴这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)所示．

1．本题(1)中图象是由一些散点构成的，这里不能将其用平滑曲线连起来．

(2)中描出两个端点及顶点，依据二次函数的图象特征作出函数图象．注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点．

2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．

若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

【解析】　A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．

【答案】　B

因换元前后不等价致误

　已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．

【错解】　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，

设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.

【错因分析】　本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未证明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．

【防范措施】　采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.

【正解】　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，

令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．

1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．

2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．

3．求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消去法)，注意有的函数要注明定义域.

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1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)

A.1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．不存在

【解析】　∵2<3≤4∴由表格可知f(3)＝3.

【答案】　C

2．下列各图象中，不可能是函数y＝f(x)的图象的有几个(　　)

　                    ①　　　②　　　③　　　④

A．1个     B．2个       C．3个   D．4个

【解析】　判断一个图象是否是函数图象，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图象．③④一定不是y＝f(x)的图象．

【答案】　B

3．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．

【解析】　由题意可知，长方体的长为x＋10cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.

【答案】　y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)

4．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．

【解】　用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．

用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．

一、选择题

1．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　)

A．(－∞，1)　　　　　　　B．(1，＋∞)

C．(－∞，1] D．[1，＋∞)

【解析】　函数f(x)的定义域M＝(－∞，1]，则∁RM＝(1，＋∞)．

【答案】　B

2．已知f(x＋2)＝x2－x＋1，则f(x)等于(　　)

A．x2－x＋3　　　　　　　B．x2＋4x＋1

C．x2－x－1 D．x2－5x＋7

【解析】　令x＋2＝t，则x＝t－2，∴f(t)＝(t－2)2－(t－2)＋1＝t2－5t＋7，

∴f(x)＝x2－5x＋7.

【答案】　D

3．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　)

A．－2 B．6

C．1 D．0

【解析】　令x－1＝2得x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.

【答案】　B

4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1

C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1

【解析】　由题意设f(x)＝a(x－1)2＋b(a>0)，由于点(0,0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D.

【答案】　D

5．(2014·武汉高一检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)

A．2 B．1

C．－1 D．无最大值

【解析】　在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图

根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．∴当x＝1时，f(x)max＝1，故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．函数f(x)的图象如图1－2－2所示，其中点O、A、B、C的坐标分别为(0,0)，，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝________，f(f(2))＝________.

图1－2－2

【解析】　由图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4，故f(f(2))＝4.

【答案】　　4

7．已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，则f[g(x)]＝________.

【解析】　∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，

∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.

【答案】　4x2＋4x＋2

8．已知f(x)＝x＋a，且f(x－1)＝x＋6，则a＝________.

【解析】　∵f(x)＝x＋a，∴f(x－1)＝x－1＋a.

又f(x－1)＝x＋6，∴x－1＋a＝x＋6，∴a＝7.

【答案】　7

三、解答题

9．作出下列函数的图象：

(1)f(x)＝x＋x0；

(2)f(x)＝1－x(x∈Z，且－2≤x≤2)．

【解】　(1)如图(1)

(1)

(2)如图(2)

(2)

10．求下列函数的解析式：

(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)，f(2x＋1)的解析式；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．

【解】　(1)法一　已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，则x＝t＋1，代入上式得，

f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．

因此，f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)－3＝4x2－4.

法二　∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，

因此，f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)－3＝4x2－4.

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则依题意代入，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，

即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，

利用等式两边对应项的系数相等，可得

2a＝2,2b＝－4,2a＋2c＝0，解之得：a＝1，b＝－2，c＝－1，

∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－1.

图1－2－3

11．如图1－2－3所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部分为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．

【解】　由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的边AB＝2x，设AD＝a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆直径为2x，半径为x，

∴面积y＝πx2＋·2x＝－x2＋lx.

根据实际意义知－x－x>0，又x>0，解得0<x<.

即函数y＝－x2＋lx，其定义域为