高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例教学设计

1.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计）

教学目的：

（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

教学过程：

一、  复习回顾，新课引入

1、用定义证明函数的单调性：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）    （2） 

（3）   （4） 

二、师生互动，新课讲解：

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

 （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．

设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得．

那么，我们称是函数的最小值(minimum value)．

注意：

 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

 （1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

（2）利用图象求函数的最大（小）值

 （3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

 1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（课本P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解一：（顶点法）；

解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）2+29.025

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

变式训练1：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

例2：（课本P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

分析：函数单调性求最值。

变式训练2：求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值。

例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：

(1) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；

 (2) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；

 (3) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；

解：(1)在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；

(2) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；

(3) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 由于函数在处没有定义，则函数在上的最大值为，没有最小值．

思考：为什么要讨论？

说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．

变式训练3：根据函数图象研究函数y=x2-2x-1在下列区间上的最值：

（1）[-2，0]；（2）[-2，2]；（3）[0，2]；（3）[0，3]；（4）[2，4]

三、课堂小结，巩固反思：

函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．

我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

四、布置作业：

A组：

1、（课本P39习题1.3A组NO：5）

2、求下列函数的最值：

(1)y= -x2-4x+5；      (2)y= -x2-4x+5 ，x[-4,-3]；      (3) y= -x2-4x+5 ，x[-4,-1]

（4）y= -x2-4x+5 ，x[-3,-1]；（5）y= -x2-4x+5 ，x[-1,3]；(6) y= -x2-4x+5 ，x[0,4]

B组：

1、（课本P39习题1.3B组NO：1）

2、（课本P39习题1.3B组NO：2）

C组：

例2．旅 馆 定 价

 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得

=150··．

由于≤1，可知0≤≤90．

因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．

将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．

由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）