第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系

1．理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算(重点，难点)；

2．学会通过等分圆周的方法作正多边形．

一、情境导入

生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？

二、合作探究

探究点：正多边形与圆

【类型一】圆的内接多边形与外切多边形的有关计算

如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．

(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；

(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．

解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝eq \r(3)∶2；

(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是eq \r(3)∶2，所以S1∶S2＝3∶4.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】圆的内接正多边形的探究题

如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图①中∠MON的度数；

(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．

解：(1)取B与M重合，N与C重合，利用O是正三角形的中心，可知∠MON的度数是120°；

(2)取B与M重合，N与C重合，此时三角形MON是直角三角形，∠MON＝eq \f(360°,4) ＝90°；取B与M重合，N与C重合，此时∠MON的对应角度是整个圆周的eq \f(1,5)，∠MON＝eq \f(360°,5)＝72°；

(3)eq \f(360°,n).

方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B与M重合，N与C重合，可得出∠MON为定值且与正多边形边数相关．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】作正多边形

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型四】与正多边形相关的证明

如图，直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上，且AB＝AC＝AO，OC、BC分别交⊙O于点E、F.求证：EF是圆内接正二十四边形的一边．

证明：∵AC切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵AC＝OA，∴∠AOC＝45°.∵AB＝OA，OB＝OA，∴∠BAO＝60°，∠BAC＝60°＋90°＝150°.∵AC＝AB，∴∠ABC＝eq \f(1,2)(180°－150°)＝15°.∵∠AOF是弧AF所对圆心角，∠ABF是弧AF所对圆周角，∴∠AOF＝30°，∴∠EOF＝15°，∵eq \f(360°,15°)＝24，∴EF是圆内接正二十四边形的一边．

方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF的度数是解题关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．

2．利用等分圆周作正多边形．

教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.