初中第24章 圆24.6 正多边形与圆24.6.1 正多边形与圆精品课后作业题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.12正多边形与圆

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•仙居县期末）正六边形的边长为，则它的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，再由的面积即可求解．

【解析】此多边形为正六边形，

；

，

是等边三角形，

，

，

，

．

故选：．

2．（2020秋•余姚市期末）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为　　

A． B． C． D．

【分析】设圆的半径是，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．

【解析】设此圆的半径为，

它的内接正六边形的边长为，

则它的内接正方形的边长为，

内接正六边形和内接四边形的边长比为．

故选：．

3．（2021•绍兴）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据正方形的性质得到弧所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理求解．

【解析】连接、，如图，

正方形内接于，

所对的圆心角为，

，

．

故选：．

4．（2021•成都模拟）如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为　　

A．或 B．或 C． D．

【分析】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．

【解析】连接，，如图所示：

六边形是正六边形，

，

当点不在上时，

，

当点在上时，

，

故选：．

5．（2021•和平区二模）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是　　

A．，1 B．， C．， D．，2

【分析】由正六边形的性质得，再证是等边三角形，得，再由垂径定理和含角的直角三角形的性质求出即可．

【解析】在圆内接正六边形中，，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

故选：．

6．（2021•雁塔区校级模拟）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为　　

A． B． C． D．

【分析】连接，，，由圆内接四边形的性质可得到，，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到．

【解析】连接，，，

正方形内接于，

，，，，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

故选：．

7．（2019•于洪区二模）如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片，它的边长是，的长度是　　

A． B． C． D．

【分析】连接、，得出等边三角形，求出长和度数，根据弧长公式求出即可．

【解析】连接、，

六边形是正六边形，

，

，

是等边三角形，

，

的长度为，

故选：．

8．（2021•双流区模拟）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】连接，．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．

【解析】连接，．

在正五边形中，，

，

，

，

，

故选：．

9．（2020秋•长春期末）如图，与正六边形的边、分别交于点、，点为劣弧的中点．若，则的半径为　　

A．2 B． C． D．

【分析】连接，根据正六边形和点为劣弧的中点，可得是等边三角形，进而可得的半径．

【解析】如图，连接，

正六边形，

，

点为劣弧的中点，

，，

是等边三角形，

．

则的半径为．

故选：．

10．（2020•遵化市三模）如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为　　

A．2 B． C．3 D．

【分析】延长交于．证明，解直角三角形求出即可．

【解析】延长交于．

由题意，，

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021春•江北区期末）两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为，则正方形的边长为 　　．

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论．

【解析】如图，由题意得，是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

正方形的边长为，

故答案为：．

12．（2020•绿园区二模）如图，正方形内接于，的半径为6，则的长为　　．

【分析】连接，，根据弧长公式即可求解．

【解析】连接，，则，，

的弧长为，

故答案为．

13．（2019•望花区四模）如图，边长为的正六边形内有两个三角形（数据如图），则　5　．

【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．

【解析】解法一：如图，

三角形的斜边长为，

两条直角边长为，，

，

，

，

，

，

，

解法二：割补（如下图）

，则可以很直观的看出

故答案为5．

14．（2021•渭滨区一模）如图，在正六边形中，于相交于点，则值为　　．

【分析】由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，，由含角的直角三角形的性质得出，即可得出答案．

【解析】六边形是正六边形，

，，

，

，，

，

；

故答案为：．

15．（2020•东莞市校级二模）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺料，扳手张开的开口至少为　　．

【分析】设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结果．

【解析】设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示：

，

，

四边形是菱形，

，，

，，

，

，

，

故答案为：．

解法2：连接、，过作于，如图1所示：

则，

，是等边三角形，

，

，

，，

，

故答案为：．

16．（2021•长安区二模）如图，正方形和正六边形均内接于，连接；若线段恰好是的一个内接正边形的一条边，则　12　．

【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到，，，然后计算．

【解析】连接、、，如图，

正方形和正六边形均内接于，

，

，

，

，

即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．

故答案为12．

17．（2021•曲江区校级模拟）如图，正八边形内接于，若，则点到的距离为 　2　．

【分析】连接交于，根据圆内接正多边形的性质得到，，由垂径定理可求得，得到，在等腰中，根据勾股定理求出，在等腰中，根据勾股定理求出，即为点到距离为2．

【解析】连接交于，

正八边形内接于，

，，

，，

，，

，

，

，

，

在中，

，，

，

，

在中，

，

，

，

点到距离为2，

故答案为：2．

18．（2021•建邺区一模）如图，是正五边形的一条对角线，以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则　72　．

【分析】由多边形的内角和与正多边形的定义求得，，由等腰三角形的性质求得，进而求得，再根据等腰三角形的性质即可求得．

【解析】五边形是正五边形，

，，

，

，

，

，

故答案为：72．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•定西期末）如图，正方形内接于，，求证：．

【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．

【解析】证明：四边形是正方形，

，

，

，

，即，

．

20．（2019•海宁市一模）如图，已知点是正六边形的对称中心，，分别是，上的点，且．

（1）求的度数；

（2）求证：．

【分析】（1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；

（2）证明，根据全等三角形的性质证明结论．

【解析】（1）解：六边形是正六边形，

；

（2）证明：连接、，

，

，

，

，

在和中，

，

．

21．（2020•江岸区校级模拟）如图，，，，是上的四个点，．

（1）求证：是等边三角形．

（2）若的半径为2，求等边的边心距．

【分析】（1）利用圆周角定理可得，，而，所以，从而可判断的形状；

（2）过作于，连接，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解析】（1）证明：在中，

与是对的圆周角，与是所对的圆周角，

，，

又，

，

为等边三角形；

（2）过作于，连接，

则，，

，

，

等边的边心距为1．

22．（2020秋•庐阳区期末）已知，正方形内接于，点是弧上一点．

（1）如图1，若点是弧的中点，求证：；

（2）如图2，若图中，求的值．

【分析】（1）连接，由是正方形的性质得到，，由等腰直角三角形的性质得到，，，

由圆周角的性质得到，进而得到，，根据等腰三角形的判定即可得到；

（2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得，由三角形内角和定理求出，根据含直角三角形的性质和勾股定理得到，，进而得到，，，代入即可得到结果．

【解析】（1）证明：如图1，连接，

四边形是正方形，

，，

，，

，

点是弧的中点，

，

，

，

，

；

（2）解：如图2，连接，，

四边形是正方形，

，，

，

，

，由（1）知，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

23．（2019秋•下城区期中）（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．求证：；

（2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：．

【分析】（1）延长至，使，连接，证明是等边三角形．利用，，，得到，所以；

（2）过点作交于，证明，所以，可得；

【解析】证明：（1）延长至，使，连接，如图1，

、、、四点共圆，

，

，

，

，

是等边三角形，

，；

又，，

，

、为等边三角形，

，，

在和中，

，

，

；

（2）过点作交于，连接，．如图2，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

；

24．（2019秋•大连月考）如图1，为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．

（1）如图1当时，请求出的度数，并说明理由

（2）如图2，在正方形中，当时　　；如图3，在正五边形中，当时，　　；

（3）如图4，在正边形中，当时，是否有什么规律？如果有请用含有的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）方法同（1）；

（3）由（2）的结论即可得到结果．

【解析】（1）．

在和中，．

．

．

；

（2）理由同（1）：正方形，正五边形，

（3）正边形．

故答案为：，．