2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】计算，再计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了交集的运算，意在考查学生的计算能力.2．若复数满足，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和求模，意在考查学生的计算能力.3．人体的体质指数（）的计算公式：体重身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：以上等级偏瘦正常超标重度超标  某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，体重身高，代入数据即可求解.【详解】由题意得，体重身高，因为此人属于正常，所以所以此小学生的体重范围为，即体重范围为，故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.【详解】对于A，，则，故排除A；对于B，，则与相交或，故排除B；对于C，，则，故排除C；对于D，，则；反之，若，与的位置关系不确定，当时，或 ，故的一个充分不必要条件，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题.5．设满足约束条件，则目标函数的最大值为(    )A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，求出最大值即可.【详解】作出变量满足约束条件的可行域如图：由，可得，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值.由得，结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（    ）钱？A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为，公差为，则，即，解得，.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.7．已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】结合图像，判断函数的性质即可求解.【详解】从图像可知，函数为偶函数，对于A，，排除A；对于B，，排除B； 和其定义域均为，当从的右侧趋近时，，，即，结合图像排除D项，故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基础题.8．已知是锐角，向量，满足，则为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】可得，故，得到答案.【详解】由可得，则，即，又是锐角，.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为1，下底面半径为，圆台的高为，设圆台的外接球半径为，如图：则，解得，外接球的体积为.故选：B【点睛】本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题.10．已知函数，将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】化简，得到，得到，计算得到答案.【详解】，经过变换后得到函数，则的值域为，又，.故选：.【点睛】本题考查了三角函数化简，平移伸缩变换，值域，意在考查学生的综合应用能力.11．已知双曲线是的左右焦点，是双曲线右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率为(    )A． B．3 C．2 D．【答案】B【解析】根据双曲线的定义可得，代入，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线的定义知，当且仅当时取等号故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时，验证等号成立的条件，属于基础题.12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，计算函数的单调性，得到，计算得到答案.【详解】，令，则，故当时，，单调递减，当时，单调递增，，从而当时，，在区间上单调递增.设，则在上单调递减，在上单调递增，，存在，使成立，等价于.，解得.故选：.【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键.  二、填空题13．二项式展开式中的常数项为240，则实数的值为________.【答案】【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】，由得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.14．已知等比数列中，，则________.【答案】【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.【答案】【解析】根据题意求出，设出直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立消求交点的横坐标，由，可得，代入交点的横坐标即可求解.【详解】椭圆，则，，则，即，所以 根据题意可得直线的斜率存在，设直线的斜率为，直线的方程为： 则，消可得，解得设，因为，所以，整理可得 由， 代入可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.16．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】化简，画出函数图像，根据图像计算得到答案.【详解】，取，即，画出函数图像，根据图像知：，即，取.故或（舍去），即.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键. 三、解答题17．在锐角中，内角所对的边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用余弦定理结合（1）即可得出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理有得，有得，由，可得，由正弦定理得（2）由题意有由余弦定理有，得，代入，解得：故的面积为【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题.18．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（）400500概率 作物市场价格（元/）56概率 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列（利润产量市场价格成本）；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间的概率.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）所有可能的取值为，计算概率得到分布列.（2）每一季利润在区间的概率为，计算得到答案.【详解】（1）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为5元/”，由题设知，利润产量市场价格成本.所有可能的取值为，，，，，，的分布列为：1000140015002000  （2）每一季利润在区间的概率为，故3季中的利润都在区间的概率为.【点睛】本题考查了分布列和概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）如图，连相交于点，连，证明得到答案.（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：如图，连相交于点，连，，四边形为平行四边形，可得，平面，平面，平面.（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为，.设平面的法向量为，有，取，有；设平面的法向量为，有，取，有；有，故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，且，使得函数在区间的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；【解析】（1）求导，讨论和两种情况，计算得到答案.（2）讨论，，，四种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，，①当时，，函数的增区间为②当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为.（2）①当时，得舍去；②当时，得符合题意；③当时，由，不合题意；必有，可得，令，故函数单调递增，又由，故当时，，不存在这样的；④当时，，得舍去；综上所述：满足条件的值为.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据值域求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.21．已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，将抛物线与直线联立，分别消，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得，的面积为即可求解.【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，有：，解得故抛物线的标准方程的（2）设直线的方程为，点的坐标分别为.联立方程，消去后整理为，可得，联立方程，消去后整理为，可得，，得由有，， ，可得的面积为 可得，有或联立方程解得或，又由，故此时直线的方程为或联立方程，解方程组知方程组无解.故直线的方程为或【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）消参可得直线的普通方程，由 可求出曲线的直角坐标方程.（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）直线的普通方程为曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为设点的坐标为故的最小值为.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.23．设，且.（1）求证：；（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.【详解】（1）由 ，（当且仅当时取等号）故有（2）由，有故当时，.【点睛】本题考查了不等式的证明，考查了基本不等式以及不等式的性质，属于中档题.