山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 含答案

这是一份山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 含答案，共12页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知圆心为的圆与点，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：选择性必修第一册2.4圆的方程结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，则实数等于（ ）
A．1B．2C．D．
3．若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．或
4．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）．已知，，，，则异面直线，所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．过点作直线分别交轴正半轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点当取最小值时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
11．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面的法向量
C．⊥平面
D．点到平面的距离为
12．在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点，，，四点共面
B．异面直线与的距离为
C．三棱锥的体积为定值
D．不存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则______．
14．已知直线，关于轴对称，的方程为：，则点到直线的距离为______．
15．已知直线：过定点，直线过点，且，分别绕、旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是______．
16．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长．
18．（12分）
已知点与直线：．
（1）若直线过点，且与直线垂直，求直线的方程；
（2）一条光线点射出，经直线反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程．
21．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，，为中点，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点为棱上一点，求与平面所成角最大时，的值．
22．（12分）
如图甲所示，是梯形的高，，现将梯形沿折成为直二面角的四棱锥，如图乙所示，在该四棱锥中，，异面直线与所成的角为．
（1）若点是棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正弦值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．
运城市2021～2022年度教育发展联盟高二10月份月考测试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D2．C3．A4．C5．A6．B7．D8．C
9．AC10．BCD11．BCD12．AC
13．14．15．16．
17．解：（1）由图可知
即
（2），
又∵，
∴，
∴，，，
∴．
18．解：（1）∵与垂直，∴设直线方程为，
又∵过点，∵，解得，
∴直线的方程为．
（2）设点关于的对称点坐标为
则，
解得∴．
又∵反射光线过点，
∴反射光线所在直线方程为．
19．（1）证明：∵为矩形，且，
∴．
又∵，．∴，．
又∵，，
∴平面．
∵平面，∴
又∵，，
∴平面．
（2）解：以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
∴，，
设平面的法向量
则，即
∴，
∴
∴直线与所成角的正弦值为．
20．解：（1）设圆的方程为，将三点，，分别代入得
解得．
所以圆的方程为（．
（2）设，则：，，
∵，∴∴
∵点在圆上运动∴，
即．∴，
所以点的轨迹方程为，是以为圆心，以1为半径的圆．
21．解：（1）取中点，连结，
∵为等腰直角三角形，∴，，，
∴，∴，∴，
又∵为等腰直角三角形，∴．
又∵，∴平面，
又∵，，，∴为等边三角形，
∴以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即
取则，，∴
∴点到平面的距离．
（2）设，则，
∴设与平面所成角为，
则．
∴当时，最大，即最大．
22．（1）证明：解法一，由甲图可知，
∵为直二面角，∴，
，，∴平面，
∵在四棱锥中，
∴以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
∵，，，异面直线和所成角等于．
∴设，，则，，，，．
∵，，，
∴，解得，
当为的中点时，，
又∵平面的法向量为
∴，
又∵平面，平面．
解法二，由甲图可知，
∵为直二面角，，
，，∴平面
又∵平面，∴
又∵，，∴平面，
∴，又∴，，，
∴为等腰直角三角形，∴，，
取中点连接，，，则，，
∴四边形为平行四边形，∴，
平面，平面，
∴平面．
（2）解：取的中点，连接，
∵异面直线和所成角等于，∴，
又∵，，∴为等边三角形，
∴，∴，
另：∵在四棱锥中，
∴以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
又，，
∵异面直线和所成角等于，
∴，解得，
假设在棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，
设，且，
则，解得，
，，
设平面的一个法向量为，
则取，得，
又平面的法向量，
∵二面角的余弦值为，∴
解得或（不合题意）．
∴存在这样的点，为棱上的靠近的三等分点．