2020-2021学年江苏省南通市第一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江苏省南通市第一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．等差数列中，，，则（ ）
A．14B．17C．20D．23
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质结合已知条件，求公差d，进而求出的值
【详解】
由等差数列中，，，令公差为d，则
∴，解得
而
故选：B
【点睛】
本题考查了等差数列，由等差数列的性质求项，属于简单题
2．两数与的等比中项是（ ）
A．1B．C．或1D．
【答案】C
【解析】根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．
【详解】
设与的等比中项是x，
则满足，
则或，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．
3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于（ ）
A．(－1，2)B．(－2，1)
C．(0，1)D．(0，2)
【答案】D
【解析】先化简集合,再求得解.
【详解】
由题得,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.
【详解】
因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】
数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
5．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；
当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q6．朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，推导出q=，由此能求出的值．
【详解】
依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，
则=，且=2a1，∴q=，
∴==q6=．
故选A．
【点睛】
本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．已知数列：，，，…，又，则数列的前n项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】可观察出，然后用裂项相消法即可求出的前项和.
【详解】
因为数列为:，，，，…
所以，
所以，
所以的前项和为
故选：C.
【点睛】
本题考查用裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.
8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为5，则
A．119B．121C．120D．1222
【答案】C
【解析】由已知推导出．，由此能求出n．
【详解】
数列的各项均为正数，，，
，
∴是以=4为首项，以d=4为公差的等差数列，
，．
又∵，则，
∴数列的前n项和为5，
即，
，解得，．
故选C．
【点睛】
本题考查数列项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．
二、多选题
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.
【详解】
∵，且公比为整数，
∴，，
∴，或（舍去）故A正确，
，∴，故C正确；
∴，故数列是等比数列，故B正确；
而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．
10．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有( )
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】
由已知可得:,,
,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;
成等比数列,则,即,解得故B正确;
因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，满足，则的最大值为；
B．若，则函数的最小值为
C．若，满足，则的最小值为
D．函数的最小值为
【答案】CD
【解析】，没有最大值，故错误；
，函数，故错误；
，的最小值为2，故正确；
，，当且仅当时等号成立，故正确.
【详解】
，若，，，则，当且仅当时等号成立，没有最大值，故错误；
，若，即，则函数，当且仅当等号成立，故错误；
，若，，所以，所以，所以，（当且仅当时取等），所以的最小值为2. 故正确；
，，当且仅当时等号成立，故正确；
故选：CD
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最大值B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BC
【解析】首先根据，得到，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
因为，所以，解得.
对选项A，因为无法确定和的正负性，
所以无法确定是否有最大值，故A错误.
对选项B，，
故B正确.
对选项C，，
故C正确.
对选项D，，
，
因为，所以，，
，故D错误.
故选：BC
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前项和的计算，属于简单题.
三、填空题
13．已知数列的前项和，则______
【答案】
【解析】根据数列的通项公式和前n项和的关系，分当时和当时，两种情况讨论求解.
【详解】
当时，，
当时，，
因为，不适合上式，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．已知，，，的等比中项是1，且，，则的最小值是______.
【答案】4
【解析】，的等比中项是1，再用均值不等式得到答案.
【详解】
，的等比中项是1
当时等号成立.
故答案为4
【点睛】
本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
15．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是__________．
【答案】[－1，3]
【解析】把不等式化为，讨论，和时，求出不等式的解集，从而得出满足题意的a的取值范围
【详解】
解：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
因为不等式的解集中至多包含1个整数，
所以或，
所以a的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想，属于基础题
四、双空题
16．如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点An、Bn、∁n时，所经过的时间分别为an、bn、cn，请你尝试求出＝_____，{bn}的通项公式bn＝_____．
【答案】8
【解析】根据题意，列举数列的前几项，归纳总结，即可求得以及.
【详解】
根据题意，容易可得：
；
；
.
由归纳可得：；
且数列是首项为，公差为的等差数列，故可得；
容易知的奇数项是的奇数项减去1得到；
的偶数项是的偶数项加上1得到；
故.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解，以及归纳法求数列的通项公式，属综合基础题.
五、解答题
17．已知数列满是，.
（1）若数列为等比数列，求通项公式；
（2）若数列为等差数列，且其前n项和为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据，，利用“”法求解.
（2）根据，，利用“”法求解.
【详解】
（1）设数列的公比为q，
因为，.
所以，
解得，.
所以数列的通项公式为.
（2）设数列的公差为d，
因为，.
所以，
解得，.
所以，
可得.
所以.
【点睛】
本题主要考查等比数列和等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．设函数
（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；
（2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，要使不等式恒成立，
①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；
②当时，只需，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）要使对于恒成立，
只需恒成立，
只需，
又因为，
只需，
令，则只需即可
因为，当且仅当，即时等式成立；
因为，所以，所以.
【点睛】
本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.
19．
设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由已知利用递推公式，
可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.
（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和．
【详解】
解：(1)当时，
，
当时，满足上式，
故的通项式为．
设的公比为，
由已知条件知，
，，所以，
，即．
(2)，
两式相减得：
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.
20．南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产1万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
【答案】（1）；（2）3万元.
【解析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；
（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值.
【详解】
（1）由题意知：每件产品的销售价格为，
；
（2）由，
当且仅当，即时取等号.
故该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大.
【点睛】
本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.
21．已知数列满足：，，记数列，
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【解析】（1）先由已知求出，再由和可得，从而可证得结论；
（2）由（1）可求出，从而可得到，进而可求出数列的通项公式；
（3）假设存在 满足题意成等差数列，则有，化简可得 ，左偶右奇不可能成立，从而可得结论
【详解】
解：（1）由已知 ，
，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列
（2） 由（1）得 ，
所以

（3）假设存在 满足题意成等差数列，
代入得 ，
所以，即 ，左偶右奇不可能成立．
所以假设不成立，这样三项不存在
【点睛】
此题考查由递推式证明等比数列，考查等比数列的通项公式的计算，考查计算能力，属于中档题
22．正项数列的前项和满足：，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的都有.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用与的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列的通项公式；
（2）由得出数列的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可.
【详解】
（1）解：∵正项数列的前项和满足：
，①
则，②
①②得
即
即
又，，.
又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列.所以.
（2）证明：由于，则
.
【点睛】
本题主要考查了由求以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.