北师大版数学八年级上册 方程组助解 最佳购物方案学案

方程组助解 最佳购物方案

方程组助解生活中购物问题，科学选择，实现人们最多购物，最低购物，选择购物，全面购物，消耗购物的梦想.

1.最多购物问题

例1（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．

（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？

解析：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，

依题意，得：，解得：．

答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．

（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，

依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，解得：m≤383，又∵m为正整数，

∴m的最大值为383．答：A种防疫物品最多购买383件．

例2（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．

（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？

解析：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，

依题意，得：，解得：．

答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．

（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，

依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，解得：m≤5．答：学校最多可购买甲种词典5本．

例3 (2020年哈尔滨市)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；

（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．

解析：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，由题意可得，

解得：，答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；

（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，

根据题意得52m+28(30-m)≤960，解得m≤5∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪．

 2.最低购物问题

例4 (2020年湖南省湘潭市)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．

（1）求这两种书的单价；

（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

解析：（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y

由题意得： 解得，答：两种书的单价分别为35元和30元；

（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n

根据题意得解得： ，

则n可以取17、18、19、20，

当n=17时，50-n=33，共花费17×35+33×30=1585元；

当n=18时，50-n=32，共花费17×35+33×30=1590元；

当n=19时，50-n=31，共花费17×35+33×30=1595元；

当n=20时，50-n=30，共花费17×35+33×30=1600元；

所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．

3.选择购物问题

 例5 (2020年山东省菏泽市)今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学

生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器

材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

解析：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，

依题意，得：，解得：．

答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．

（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，

依题意，得：，解得：20＜m≤22．又∵m为正整数，

∴m可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．

4.全面购物问题

 例6（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

解析：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，

依题意，得：，解得：．

答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．

（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

5.消耗购物问题

 例7 （2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　　次．

解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：

，整理得：，解得：．故答案为：4．