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沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 -第20讲：期末复习(1)学案教师版
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这是一份沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 -第20讲：期末复习(1)学案教师版，共33页。
期末复习
内容分析
本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．
知识结构
二次根式的性质
解法
二次三项式的因式分解
配方法
平行向量定理
因式分解法
实际问题
应用
二次根式的加减
二次根式的乘除
混合运算
最简二次根式
有理化因式和分母有理化
同类二次根式
二次根式
二次根式的运算
一元二次方程
开平方法
平行向量定理
公式法
平行向量定理
根的判别式
根的情况
选择题
函数的定义域和求
函数值
定义
依据
函数
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
演绎推理
几何证明
勾股定理
直角三角形全等的判定
线段的垂直平分线定理及逆定理
角的平分线定理及逆定理
正比例函数概念、图像和性质
反比例函数概念、图像和性质
正反比例函数综合运用
命题
实际问题
变量与常量
点的轨迹
函数的常用表示法：
解析法
列表法
图像法
公理
定理
逆命题
逆定理
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】
【解析】；；．
【总结】本题考查了最简二次根式的定义．
【练习2】 若一元二次方程有两个实数根，则的取值范围正确的
是（ ）
A． B． C．且 D．
【难度】★
【答案】
【解析】因为方程有两个实数根，故，则，
又因为一元二次方程的二次项系数不为零，即；故．
【总结】本题考查了一元二次方程根的情况．
【练习3】 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（ ）．
A．（-3，-2） B．（3，2） C．（2，-3） D．（-2，-3）
【难度】★
【答案】
【解析】反比例函数的图像与正比例函数图像的两个交点关于原点对称．
【总结】本题考查了反比例函数图像的性质．
【练习4】 下列命题中，哪个是真命题（ ）
A．同位角相等
B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若，则点P在线段AB的垂直平分线上
【难度】★
【答案】
【解析】中只有两条直线平行，同位角相等；中不能证明三角形全等；
中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，对称轴应该是直线；
中是垂直平分线的性质．
【总结】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定，对称轴及垂直平分线性质．
【练习5】 以下说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形
【难度】★
【答案】
【解析】选项均由三角形内角和定理可求得；由勾股定理可得为直
角三角形；中有三边关系知构造不了三角形，故错误．
【总结】本题考查了直角三角形的判定．
【练习6】 关于x轴上有一点A到点B（-3，4）的距离是5，则点A的坐标是（ ）
A．（-6，0） B．（0，0）
C．（-6，0）或（0，0） D．以上都不对
【难度】★
【答案】
【解析】过点作轴的垂线交轴为点，则点的坐标为，又因为点到轴
的距离为，所以由勾股定理可得点的坐标为．
【总结】本题考查了勾股定理的应用．
【练习7】 化简成最简二次根式后等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】
【解析】，，即，，故原式．故选C．
【总结】本题考查了二次根式的化简．
【练习8】 某同学做了以下四题，其中做错的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】
【解析】①③正确；②④错误；②中；
④中，故选B．
【总结】本题考查了二次根式的运算及化简．
【练习9】 如果关于x的方程（其中a、b、c
均为正数）有两个相等的实数根，则以a、b、c为长的线段促成的是（ ）．
A．等腰非等边三角形 B． 等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定形状
【难度】★★
【答案】
【解析】原方程可以整理为
方程有两个相等的实数根，
整理得：
即
，即
三角形为等边三角形．
【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方的运用．
【练习10】 已知一直角三角形ABC的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程
的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【难度】★★
【答案】
【解析】解：，
化简原方程为：，，
方程有两个相等的实数根，故选项正确．
【总结】本题考查了勾股定理的应用及根的判别式的综合运用．
【练习11】 多项式进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】解：令，由
由公式法得：；
所以，
故选C．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用----二次三项式的因式分解的运用．
【练习12】 已知函数中随的增大而增大，那么它和函数在 同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（ ）．
【难度】★★
【答案】
【解析】函数中随的增大而增大；
函数和函数的图像都在一、三象限，故正确．
【总结】本题考查了正反比例函数的图像和性质．
【练习13】 如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）．
． ．
C．= D．由A、C两点的位置确定
【难度】★★
【答案】
【解析】点和点都在反比例函数图像上，
，故选．
【总结】本题考查了反比例函数的性质的运用．
【练习14】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【难度】★★
【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理得：，再由折叠
的性质可得，所以，且；
设为，则，，在中，有，
即，解得：．故项正确．
【总结】本题考查了图形的折叠和勾股定理的应用，注意翻折的性质的运用．
【练习15】 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长
是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【难度】★★
【答案】
【解析】，在中，由勾股定理得：，
所以，同理可得：，所以．
当△ABC为锐角三角形时，，则△ABC的周长；
当△ABC为钝角三角形时，，则△ABC的周长；
故选C．
【总结】本题考查了勾股定理的应用，注意当涉及到三角形一边上的高时，要分两种情况讨论．
填空题
【练习16】 （1）若，则xy的值为_______；
（2）使成立的条件是______；
（3）二次根式的有理化因式是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意得：，所以，
把代入，可得：，故；
（2）由题意，得：，解得：；
（3）的有理化因式是等．
【总结】本题考查了二次根式的有意义的条件及有理化因式的概念，注意任何一个二次根式的有理化因式是不唯一的．
【练习17】 （1）方程的根是__________；
（2）已知关于x的一元二次方程（m）x+3x+m2=0的一个根为0，则m的
值是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），则．
（2）把代入方程得：且，则计算得出．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的条件．
【练习18】 （1）已知正比例函数y=(2m1)x的图像上两点，当
时，那么m的取值范围是______；
（2）反比例函数的图像经过直线y =3x上的点(m，m+2)，则m =____________，
反比例函数的解析式为____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；．
【解析】（1）点和点都在正比例函数图像上，当时，；
随的增大而减小，即；故．
（2）点(m，m+2)在函数图像上，，即；
此点坐标为，反比例函数解析式为．
【总结】本题考查了正反比例函数的性质及解析式的求法．
【练习19】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是____________________________________；
（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】（1）如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角 形．
（2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【总结】本题考查了互逆命题的应用．
【练习20】 （1）已知直角坐标平面内两点 A(3，-1)和B(-1，2)，那么A、B两点间的距离等于____________；
（2）已知直角坐标平面内的三个顶点的坐标分别为、、，
则该直角三角形的直角顶点是________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）点．
【解析】（1）由两点间距离公式，可得：；
（2）∵、、，
，，
，
，所以，故直角顶点为点．
【总结】本题主要考查了两点间距离公式的应用及勾股定理逆定理的应用．
【练习21】 （1）经过已知点、的圆的圆心的轨迹是______________________；
（2）到点A的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________．
【难度】★
【答案】（1）线段的垂直平分线；（2）以点为圆心厘米为半径的圆．
【解析】（1）由题意知，圆心应满足到点和点的距离相等，从而根据线段的垂直平分 线画出即可；
（2）到定点的距离等于定长的轨迹为圆．
【总结】本题考查了基本图形的画法．
【练习22】 （1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的
房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为，则关于的方程为_______________；
（2）某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，则这三年的总产值是_____________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】根据平均增长率问题的方程类型来列方程：
（1）；
（2）设增长率为x，则，解得：，
故这三年的总产值为：．
【总结】本题考查了一元二次方程中平均增长率问题的类型，注意对总产值的理解．
【练习23】 （1）在实数范围内分解因式：________________；
（2）若一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围
是___________________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，由，
所以由公式法得：，故．
（2）由题意得：且；解得：．
【总结】本题考查了二次三项式的因式分解及根的判别式的运用．
【练习24】 计算：=____________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题考查了二次根式的混合运算，注意进行化简．
A
B
C
D
E
【练习25】 如图，中，为中点，，
则_____．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，为中点，，
，，，
．
【总结】本题考查了直角三角形的性质及等腰三角形性质的综合运用．
【练习26】 （1）如果正比例函数y = kx（k≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，
那么当x =4时，y =_________；
（2）若x与3y成反比例函数关系，y与4z成反比例函数关系，则x与z成__________比例函数．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）反．
【解析】（1）由题意得：，即，代入中，解得：，
所以正比例函数为，故当时，．
（2）由题意得：，所以，
故与成反比例函数．
【总结】本题考查了正反比例函数的概念．
【练习27】 （1）如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACD，∠A=2∠B，BC=，AD=，则AC=________（用含、的代数式表示）；
（2）在△ABC，AB=BC，BD=DC，BC=CE，则图中一定相等的角（小于平角)
有______对．
【难度】★★
A
B
C
D
（1）
E
A
B
C
D
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图所示，在上截取，使得，连接
平分，，
又，，
，
又，，
，又 ．
（2）；；．
【练习28】 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90度，BC=24cm，∠BAC的平分线AD交
BC于点D，BD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______cm；
（2）等腰直角三角形ABC的斜边BC=4，△DBC为等边三角形，那么A、D两点的距离 是____________；
（3）在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点， 则∠ADE=______度．
【难度】★★
【答案】（1）9；（2）；（3）15．
【解析】（1）作于，
，，
是的平分线，，
．
（2）分两种情况：①连接，交于，
为等边三角形，，
，垂直平分，，
，；
②如图示，由①得：，，
；
所以．
（3）如图所示：由题意可得，
由翻折性质，则在，故；
在矩形中，，所以，
故．
【总结】本题考查了直角三角形的性质，及分情况讨论．
【练习29】 一元二次方程有两个不相等的实数根，求的最大整
数值____________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：，解得：且，即，
所以的取值范围为且．所以的最大整数值为．
【总结】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的运用．
【练习30】 方程的较大根m，方程较
小根为n，则mn的值_______________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，
∴， 即，
∴，解得：， ，
又，，
解得：，，
故．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
【练习31】 △AOC与△DCE均为等边三角形，点A、D均在双曲线上，点O
为坐标原点，点C、E在x轴上，A、D的坐标分别是______________．
A
O
C
D
E
y
x
H
F
【难度】★★★
【答案】；．
【解析】如图，过点作轴于点，过点作
轴于点．
为等边三角形，设
又点在双曲线上，
，解得：或（舍），则点的坐标为；
同理，设，则，解得：（负值舍去），
则点的坐标为．
【总结】本题考查了反比例函数图像上点的特征及等边三角形的性质．
【练习32】 已知三角形ABC为等腰直角三角形，且A（2，3），B、C分别在坐标轴上，
则点B的坐标分别是______________．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】如图所示：；；；；；．
【总结】本题考查了简单的‘数形结合’思想．
解答题
【练习33】 （1）已知，求的值；
（2）已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
原式；
（2），，，
．
【总结】本题考查了二次根式的化简和运算．
【练习34】 解方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，解得：，
原方程的解为；
（2），化简得：，
原方程的解为．
【总结】本题主要考查一元二次方程的解法．
【练习35】 证明：无论取任何实数时，方程都有实数根．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】①当时，原方程可化为，解得：；
②当时，方程为一元二次方程，，
故方程有两个实数根．
所以无论取任何值，方程都有实数根．
【总结】本题考查了方程跟的情况，注意分类讨论．
【练习36】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0．5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：设每件售价定为元，
由题意得：
化简得：，解得：
当时，；
当时，．
所以售价定为元时每天可售件，售价定为元时每天可售件，利润可达每天
元．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决利润问题．
【练习37】 已知正比例函数的图像经过两点．
（1） 求的值；
（2）如果点在反比例函数的图像上，求反比例函数的解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为正比例函数图像经过，所以，解得：，
所以正比例函数解析式为，由题意得，当时，，得：；
（2）由点在反比例函数图像，得：，
所以反比例函数解析式为．
【总结】本题考查了利用待定系数法求正反比例函数的解析式．
A
B
C
D
E
【练习38】 如图，在△ABC中，∠C=90度，AC=BC，AD平分∠CAB，AB=20cm．
求AC+CD的长．
【难度】★★
【答案】cm．
【解析】过作，垂足为点，
，．平分，．
在和中，，
，．
又，是等腰直角三角形，
，，
，，
．
【总结】本题考查了构建全等三角形证明线段相等．
A
B
C
D
【练习39】 如图：在四边形中，∠C=90°，，求四边形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，，
由勾股定理得：，
，，，
四边形的面积．
【总结】本题考查了勾股定理逆定理的应用，从而快速求出几何图形的面积．
【练习40】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O——A——B——C和线段OD分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：
（1） 小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；
x（分钟）
y（千米）
15
30
45
A
B
小智
O
小方
4
C
D
（2） 请你求出小方离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）（分钟），
（），
所以小智在图书馆查阅资料的时间为分钟，
小智返回学校的速度为千米/分钟．
（2）由图像可知，是的正比例函数，设所求函数的解析式为，
代入，得：，解得：，
所以与的函数关系式为：．
【总结】本题考查了正比例函数解析式的求法，注意数形结合的理解．
A
B
C
D
N
M
O
【练习41】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点
O，M、N分别是边AC、BD的中点．
（1） 求证：；
（2）当∠BCA=15°，AC=8cm，OB=OM时，求MN的长．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：连接．
，点、点分别是边的中点，
．
是的中点，
．
（2），
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质的综合运用．
【练习42】 已知：如图，在等腰三角形中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线．
（1） 求证：AB=AC+CD；
（2） 把原题中的“∠C=90°”改为“∠C=100°”，其余条件不变，如图，请说出AB、AD、CD之间的数量关系，并证明．
A
B
C
D
（图a）
A
B
C
D
（图b）
E
E
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）在边上截取；
是的角平分线，，
，，
，
，，，
，；
（2）．
证明：在上截取，
，，
又平分，，
由（1）得，，，
，，，
，，则，
．
【总结】本题考查了辅助线的添法--截长补短法的运用，注意对题目条件的有效分析．
【练习43】 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AC的中点，联结DE，DM设．
（1） 当△ABC时锐角三角形时（如图），试用表示∠EDM；
（2）当△ABC时钝角三角形时，请画出相应的图形，并用表示∠EDM（可直接写出）．
A
B
C
D
E
M
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，
，
，
又，为中点，
，
，
．
（2）如图，同（1）可得：
，
，
．
【总结】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，注意角度之间的关系．
【练习44】 如图，在气象站台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心
以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．
（1） 台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少?
（2） 台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间
A
B
C
D
东
北
E
会持续多长?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）小时．
【解析】（1）如图，过点作于，
台风中心在上移动，
就是气象台距离台风中心的最短距离，
在中，，
，
所以台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离为；
（2）由题意得：线段就是气象台受到台风影响的路程，
在中，，
，
，
，
，
台风影响气象台的时间会持续（小时）．
【总结】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题的运用．
A
B
O
x
y
【练习45】 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A的坐标为（1，m）OA=2，正比例函数和反比例函数的图像都经过点A，过点A作OA的垂线交x轴于点B．
（1） 求m和k的值；（2）求点B的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）第一象限内的点的坐标为，
在正比例函数的图像上，
，解得：，
正比例函数经过第一、三象限，
，
则，代入，解得：．
（2）由（1）得，设点的坐标为，
，，，
由题意得：．
则在中，由勾股定理：，
所以，解得：，
所以．
【总结】本题考查了正反比例函数性质及勾股定理的运用．
【练习46】 如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题：
．．．．．． ．．．．．．
（1） 用含有n（n是正整数）的等式表述上述的变化规律；
A1
A2
A3
A4
A5
A6
S5
O
S1
S2
S3
S4
（2） 推算出的长；
（3） 求出的值．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由已知式子可得：，
；
（2）由图可得：，，，
所以；
（3）由（1）、（2）得：．
【总结】本题考查了勾股定理的运用．
【练习47】 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是
（0，3），点B在第一象限，点P是x轴正半轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1） 当点P运动到点时，求此时DP的长及点D的坐标；
A
B
P
D
O
x
y
H
（2） 若△OPD的面积等于，请求出符合条件的点P．
【难度】★★★
【答案】（1），D；（2）．
【解析】（1）是等边三角形，，
绕着点按逆时针方向旋转边与重合，
旋转角，，
是等边三角形，．
，
，
，
．
点坐标为，．
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，连接OD，
设点，因为点P是x轴正半轴上的一个动点，所以，
易证，
， ，
解得：，， ．
故P点坐标为．
【总结】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及分类讨论，综合性较强．
【练习48】 已知：在△ABC中，AB=6，AC=5，∠A为锐角，△ABC的面积为9，点P为
边AB上动点，过点B作BD∥AC,交CP的延长线于点D，∠ACP的的平分线交AB于点E．
（1） 如图1，当CD⊥AB时，求PE的长；
（2） 如图2，当点E为AB中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
A
B
C
D
E
P
图1
P
A
B
C
D
E
图2
F
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）过点E作EF⊥AC于点F
，， ， ．
在中，由勾股定理得：，
，．
平分，CD⊥AB，EF⊥AC，
易证， ， ．
在中，，，
；
（2）连接并延长交于点，
，，
，，
又，，
，平分，
，，
．
【总结】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用及基本图形的应用．
【练习49】 如图，已知点，AB⊥X轴，垂足为点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到．
（1） 在图中画出，并直接写出的坐标；
（2） 求的长；
x
y
A
B
C
（3） 在轴上是否存在点C，使得△为等腰三角形，如果存在，请求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）；．
（2）．
（3）存在，
①为以为圆心，为半径与轴的交点，即，
则；
②、为以为圆心，为半径与轴的交点，即，
则，；
③为线段垂直平分线与轴的交点，即，
设，则，在中，由勾股定理得：
，故，所以．
【总结】本题考查了旋转的特征及等腰三角形的性质，注意要分类讨论．
【练习50】 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与△ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H．
（1） 求证：AE=AF；
（2） 设CE=，△BDF的面积为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3） 当△DEF是直角三角形时，求出BF的长．
A
B
C
D
E
F
D
A
B
C
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：平分，，，，
，又，
，；
（2）过点作于，
在中，，，
平分，，
，，
又在中，，
由勾股定理，，
又，
则在中，，
，
即，
点不与重合，．
（3）由（1）得，
， ，，．
， 而使为直角三角形，
，．
又，，，
又，，．
由（2）得：，即．
所以当时，为直角三角形．
【总结】本题考查了直角三角形的性质以及面积与函数关系式的求法，综合性较强，注意认真分析．
【练习51】 已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，连接BD如图1所示，
点P沿梯形的边，从A-B-C-D-A移动，设点P移动的距离是x，BP=y．
（1）求证：∠A=2∠CBD；
（2）当点P从A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示，求CD的长；
（3）在（2）的情况下，点P从点A-B-C-D-A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰
三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的值；若不能，请说明理由．
O
8
5 M
N
图2
x
y
图1
A
B
C
D
F
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：，为等腰三角形．
又，
，
，
；
（2）由函数图像可知：，
过点D作DF⊥AB，那么DF与AB平行且相等，
由勾股定理，可得，
所以；
（3）要使为等腰三角形，分以下几种情况讨论：
①当点P在AB边上时，如果，那么点在的中垂线上，
故作BD中垂线，由于AB=AD，则点A必在中垂线上，即点P与点A重合，
D
A
B
C
P
F
图一
此时；
如果（如图一），过点P作PF⊥AB于点F，
由等腰三角形性质可得：，
所以；
如果，此时，；
D
A
B
C
图二
P
②当点P在BC边上时，只有（如图二）．
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
即，解得：，
所以；
D
A
B
C
图三
P
G
③当点P在CD上时，没有满足条件的点；
④当点P在DA上时（如图三），
如果，过点B作BG⊥AD于点G，
则．
因为，，解得：．
此时；
如果，那么，此时；
如果，那么P点与A点重合，此时，
综上所述，当△BDP为等腰三角形时，x的值为0或3或或或11或或14．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质应用及数形结合的思想，综合性较强，涉及到动点的问题，最后一问注意解题时进行多个角度的分类讨论．
期末复习
内容分析
本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．
知识结构
二次根式的性质
解法
二次三项式的因式分解
配方法
平行向量定理
因式分解法
实际问题
应用
二次根式的加减
二次根式的乘除
混合运算
最简二次根式
有理化因式和分母有理化
同类二次根式
二次根式
二次根式的运算
一元二次方程
开平方法
平行向量定理
公式法
平行向量定理
根的判别式
根的情况
选择题
函数的定义域和求
函数值
定义
依据
函数
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
演绎推理
几何证明
勾股定理
直角三角形全等的判定
线段的垂直平分线定理及逆定理
角的平分线定理及逆定理
正比例函数概念、图像和性质
反比例函数概念、图像和性质
正反比例函数综合运用
命题
实际问题
变量与常量
点的轨迹
函数的常用表示法：
解析法
列表法
图像法
公理
定理
逆命题
逆定理
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】
【解析】；；．
【总结】本题考查了最简二次根式的定义．
【练习2】 若一元二次方程有两个实数根，则的取值范围正确的
是（ ）
A． B． C．且 D．
【难度】★
【答案】
【解析】因为方程有两个实数根，故，则，
又因为一元二次方程的二次项系数不为零，即；故．
【总结】本题考查了一元二次方程根的情况．
【练习3】 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（ ）．
A．（-3，-2） B．（3，2） C．（2，-3） D．（-2，-3）
【难度】★
【答案】
【解析】反比例函数的图像与正比例函数图像的两个交点关于原点对称．
【总结】本题考查了反比例函数图像的性质．
【练习4】 下列命题中，哪个是真命题（ ）
A．同位角相等
B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若，则点P在线段AB的垂直平分线上
【难度】★
【答案】
【解析】中只有两条直线平行，同位角相等；中不能证明三角形全等；
中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，对称轴应该是直线；
中是垂直平分线的性质．
【总结】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定，对称轴及垂直平分线性质．
【练习5】 以下说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形
【难度】★
【答案】
【解析】选项均由三角形内角和定理可求得；由勾股定理可得为直
角三角形；中有三边关系知构造不了三角形，故错误．
【总结】本题考查了直角三角形的判定．
【练习6】 关于x轴上有一点A到点B（-3，4）的距离是5，则点A的坐标是（ ）
A．（-6，0） B．（0，0）
C．（-6，0）或（0，0） D．以上都不对
【难度】★
【答案】
【解析】过点作轴的垂线交轴为点，则点的坐标为，又因为点到轴
的距离为，所以由勾股定理可得点的坐标为．
【总结】本题考查了勾股定理的应用．
【练习7】 化简成最简二次根式后等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】
【解析】，，即，，故原式．故选C．
【总结】本题考查了二次根式的化简．
【练习8】 某同学做了以下四题，其中做错的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】
【解析】①③正确；②④错误；②中；
④中，故选B．
【总结】本题考查了二次根式的运算及化简．
【练习9】 如果关于x的方程（其中a、b、c
均为正数）有两个相等的实数根，则以a、b、c为长的线段促成的是（ ）．
A．等腰非等边三角形 B． 等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定形状
【难度】★★
【答案】
【解析】原方程可以整理为
方程有两个相等的实数根，
整理得：
即
，即
三角形为等边三角形．
【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方的运用．
【练习10】 已知一直角三角形ABC的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程
的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【难度】★★
【答案】
【解析】解：，
化简原方程为：，，
方程有两个相等的实数根，故选项正确．
【总结】本题考查了勾股定理的应用及根的判别式的综合运用．
【练习11】 多项式进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】解：令，由
由公式法得：；
所以，
故选C．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用----二次三项式的因式分解的运用．
【练习12】 已知函数中随的增大而增大，那么它和函数在 同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（ ）．
【难度】★★
【答案】
【解析】函数中随的增大而增大；
函数和函数的图像都在一、三象限，故正确．
【总结】本题考查了正反比例函数的图像和性质．
【练习13】 如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）．
． ．
C．= D．由A、C两点的位置确定
【难度】★★
【答案】
【解析】点和点都在反比例函数图像上，
，故选．
【总结】本题考查了反比例函数的性质的运用．
【练习14】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【难度】★★
【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理得：，再由折叠
的性质可得，所以，且；
设为，则，，在中，有，
即，解得：．故项正确．
【总结】本题考查了图形的折叠和勾股定理的应用，注意翻折的性质的运用．
【练习15】 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长
是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【难度】★★
【答案】
【解析】，在中，由勾股定理得：，
所以，同理可得：，所以．
当△ABC为锐角三角形时，，则△ABC的周长；
当△ABC为钝角三角形时，，则△ABC的周长；
故选C．
【总结】本题考查了勾股定理的应用，注意当涉及到三角形一边上的高时，要分两种情况讨论．
填空题
【练习16】 （1）若，则xy的值为_______；
（2）使成立的条件是______；
（3）二次根式的有理化因式是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意得：，所以，
把代入，可得：，故；
（2）由题意，得：，解得：；
（3）的有理化因式是等．
【总结】本题考查了二次根式的有意义的条件及有理化因式的概念，注意任何一个二次根式的有理化因式是不唯一的．
【练习17】 （1）方程的根是__________；
（2）已知关于x的一元二次方程（m）x+3x+m2=0的一个根为0，则m的
值是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），则．
（2）把代入方程得：且，则计算得出．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的条件．
【练习18】 （1）已知正比例函数y=(2m1)x的图像上两点，当
时，那么m的取值范围是______；
（2）反比例函数的图像经过直线y =3x上的点(m，m+2)，则m =____________，
反比例函数的解析式为____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；．
【解析】（1）点和点都在正比例函数图像上，当时，；
随的增大而减小，即；故．
（2）点(m，m+2)在函数图像上，，即；
此点坐标为，反比例函数解析式为．
【总结】本题考查了正反比例函数的性质及解析式的求法．
【练习19】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是____________________________________；
（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】（1）如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角 形．
（2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【总结】本题考查了互逆命题的应用．
【练习20】 （1）已知直角坐标平面内两点 A(3，-1)和B(-1，2)，那么A、B两点间的距离等于____________；
（2）已知直角坐标平面内的三个顶点的坐标分别为、、，
则该直角三角形的直角顶点是________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）点．
【解析】（1）由两点间距离公式，可得：；
（2）∵、、，
，，
，
，所以，故直角顶点为点．
【总结】本题主要考查了两点间距离公式的应用及勾股定理逆定理的应用．
【练习21】 （1）经过已知点、的圆的圆心的轨迹是______________________；
（2）到点A的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________．
【难度】★
【答案】（1）线段的垂直平分线；（2）以点为圆心厘米为半径的圆．
【解析】（1）由题意知，圆心应满足到点和点的距离相等，从而根据线段的垂直平分 线画出即可；
（2）到定点的距离等于定长的轨迹为圆．
【总结】本题考查了基本图形的画法．
【练习22】 （1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的
房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为，则关于的方程为_______________；
（2）某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，则这三年的总产值是_____________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】根据平均增长率问题的方程类型来列方程：
（1）；
（2）设增长率为x，则，解得：，
故这三年的总产值为：．
【总结】本题考查了一元二次方程中平均增长率问题的类型，注意对总产值的理解．
【练习23】 （1）在实数范围内分解因式：________________；
（2）若一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围
是___________________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，由，
所以由公式法得：，故．
（2）由题意得：且；解得：．
【总结】本题考查了二次三项式的因式分解及根的判别式的运用．
【练习24】 计算：=____________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题考查了二次根式的混合运算，注意进行化简．
A
B
C
D
E
【练习25】 如图，中，为中点，，
则_____．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，为中点，，
，，，
．
【总结】本题考查了直角三角形的性质及等腰三角形性质的综合运用．
【练习26】 （1）如果正比例函数y = kx（k≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，
那么当x =4时，y =_________；
（2）若x与3y成反比例函数关系，y与4z成反比例函数关系，则x与z成__________比例函数．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）反．
【解析】（1）由题意得：，即，代入中，解得：，
所以正比例函数为，故当时，．
（2）由题意得：，所以，
故与成反比例函数．
【总结】本题考查了正反比例函数的概念．
【练习27】 （1）如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACD，∠A=2∠B，BC=，AD=，则AC=________（用含、的代数式表示）；
（2）在△ABC，AB=BC，BD=DC，BC=CE，则图中一定相等的角（小于平角)
有______对．
【难度】★★
A
B
C
D
（1）
E
A
B
C
D
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图所示，在上截取，使得，连接
平分，，
又，，
，
又，，
，又 ．
（2）；；．
【练习28】 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90度，BC=24cm，∠BAC的平分线AD交
BC于点D，BD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______cm；
（2）等腰直角三角形ABC的斜边BC=4，△DBC为等边三角形，那么A、D两点的距离 是____________；
（3）在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点， 则∠ADE=______度．
【难度】★★
【答案】（1）9；（2）；（3）15．
【解析】（1）作于，
，，
是的平分线，，
．
（2）分两种情况：①连接，交于，
为等边三角形，，
，垂直平分，，
，；
②如图示，由①得：，，
；
所以．
（3）如图所示：由题意可得，
由翻折性质，则在，故；
在矩形中，，所以，
故．
【总结】本题考查了直角三角形的性质，及分情况讨论．
【练习29】 一元二次方程有两个不相等的实数根，求的最大整
数值____________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：，解得：且，即，
所以的取值范围为且．所以的最大整数值为．
【总结】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的运用．
【练习30】 方程的较大根m，方程较
小根为n，则mn的值_______________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，
∴， 即，
∴，解得：， ，
又，，
解得：，，
故．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
【练习31】 △AOC与△DCE均为等边三角形，点A、D均在双曲线上，点O
为坐标原点，点C、E在x轴上，A、D的坐标分别是______________．
A
O
C
D
E
y
x
H
F
【难度】★★★
【答案】；．
【解析】如图，过点作轴于点，过点作
轴于点．
为等边三角形，设
又点在双曲线上，
，解得：或（舍），则点的坐标为；
同理，设，则，解得：（负值舍去），
则点的坐标为．
【总结】本题考查了反比例函数图像上点的特征及等边三角形的性质．
【练习32】 已知三角形ABC为等腰直角三角形，且A（2，3），B、C分别在坐标轴上，
则点B的坐标分别是______________．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】如图所示：；；；；；．
【总结】本题考查了简单的‘数形结合’思想．
解答题
【练习33】 （1）已知，求的值；
（2）已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
原式；
（2），，，
．
【总结】本题考查了二次根式的化简和运算．
【练习34】 解方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，解得：，
原方程的解为；
（2），化简得：，
原方程的解为．
【总结】本题主要考查一元二次方程的解法．
【练习35】 证明：无论取任何实数时，方程都有实数根．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】①当时，原方程可化为，解得：；
②当时，方程为一元二次方程，，
故方程有两个实数根．
所以无论取任何值，方程都有实数根．
【总结】本题考查了方程跟的情况，注意分类讨论．
【练习36】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0．5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：设每件售价定为元，
由题意得：
化简得：，解得：
当时，；
当时，．
所以售价定为元时每天可售件，售价定为元时每天可售件，利润可达每天
元．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决利润问题．
【练习37】 已知正比例函数的图像经过两点．
（1） 求的值；
（2）如果点在反比例函数的图像上，求反比例函数的解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为正比例函数图像经过，所以，解得：，
所以正比例函数解析式为，由题意得，当时，，得：；
（2）由点在反比例函数图像，得：，
所以反比例函数解析式为．
【总结】本题考查了利用待定系数法求正反比例函数的解析式．
A
B
C
D
E
【练习38】 如图，在△ABC中，∠C=90度，AC=BC，AD平分∠CAB，AB=20cm．
求AC+CD的长．
【难度】★★
【答案】cm．
【解析】过作，垂足为点，
，．平分，．
在和中，，
，．
又，是等腰直角三角形，
，，
，，
．
【总结】本题考查了构建全等三角形证明线段相等．
A
B
C
D
【练习39】 如图：在四边形中，∠C=90°，，求四边形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，，
由勾股定理得：，
，，，
四边形的面积．
【总结】本题考查了勾股定理逆定理的应用，从而快速求出几何图形的面积．
【练习40】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O——A——B——C和线段OD分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：
（1） 小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；
x（分钟）
y（千米）
15
30
45
A
B
小智
O
小方
4
C
D
（2） 请你求出小方离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）（分钟），
（），
所以小智在图书馆查阅资料的时间为分钟，
小智返回学校的速度为千米/分钟．
（2）由图像可知，是的正比例函数，设所求函数的解析式为，
代入，得：，解得：，
所以与的函数关系式为：．
【总结】本题考查了正比例函数解析式的求法，注意数形结合的理解．
A
B
C
D
N
M
O
【练习41】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点
O，M、N分别是边AC、BD的中点．
（1） 求证：；
（2）当∠BCA=15°，AC=8cm，OB=OM时，求MN的长．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：连接．
，点、点分别是边的中点，
．
是的中点，
．
（2），
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质的综合运用．
【练习42】 已知：如图，在等腰三角形中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线．
（1） 求证：AB=AC+CD；
（2） 把原题中的“∠C=90°”改为“∠C=100°”，其余条件不变，如图，请说出AB、AD、CD之间的数量关系，并证明．
A
B
C
D
（图a）
A
B
C
D
（图b）
E
E
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）在边上截取；
是的角平分线，，
，，
，
，，，
，；
（2）．
证明：在上截取，
，，
又平分，，
由（1）得，，，
，，，
，，则，
．
【总结】本题考查了辅助线的添法--截长补短法的运用，注意对题目条件的有效分析．
【练习43】 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AC的中点，联结DE，DM设．
（1） 当△ABC时锐角三角形时（如图），试用表示∠EDM；
（2）当△ABC时钝角三角形时，请画出相应的图形，并用表示∠EDM（可直接写出）．
A
B
C
D
E
M
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，
，
，
又，为中点，
，
，
．
（2）如图，同（1）可得：
，
，
．
【总结】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，注意角度之间的关系．
【练习44】 如图，在气象站台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心
以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．
（1） 台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少?
（2） 台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间
A
B
C
D
东
北
E
会持续多长?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）小时．
【解析】（1）如图，过点作于，
台风中心在上移动，
就是气象台距离台风中心的最短距离，
在中，，
，
所以台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离为；
（2）由题意得：线段就是气象台受到台风影响的路程，
在中，，
，
，
，
，
台风影响气象台的时间会持续（小时）．
【总结】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题的运用．
A
B
O
x
y
【练习45】 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A的坐标为（1，m）OA=2，正比例函数和反比例函数的图像都经过点A，过点A作OA的垂线交x轴于点B．
（1） 求m和k的值；（2）求点B的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）第一象限内的点的坐标为，
在正比例函数的图像上，
，解得：，
正比例函数经过第一、三象限，
，
则，代入，解得：．
（2）由（1）得，设点的坐标为，
，，，
由题意得：．
则在中，由勾股定理：，
所以，解得：，
所以．
【总结】本题考查了正反比例函数性质及勾股定理的运用．
【练习46】 如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题：
．．．．．． ．．．．．．
（1） 用含有n（n是正整数）的等式表述上述的变化规律；
A1
A2
A3
A4
A5
A6
S5
O
S1
S2
S3
S4
（2） 推算出的长；
（3） 求出的值．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由已知式子可得：，
；
（2）由图可得：，，，
所以；
（3）由（1）、（2）得：．
【总结】本题考查了勾股定理的运用．
【练习47】 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是
（0，3），点B在第一象限，点P是x轴正半轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1） 当点P运动到点时，求此时DP的长及点D的坐标；
A
B
P
D
O
x
y
H
（2） 若△OPD的面积等于，请求出符合条件的点P．
【难度】★★★
【答案】（1），D；（2）．
【解析】（1）是等边三角形，，
绕着点按逆时针方向旋转边与重合，
旋转角，，
是等边三角形，．
，
，
，
．
点坐标为，．
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，连接OD，
设点，因为点P是x轴正半轴上的一个动点，所以，
易证，
， ，
解得：，， ．
故P点坐标为．
【总结】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及分类讨论，综合性较强．
【练习48】 已知：在△ABC中，AB=6，AC=5，∠A为锐角，△ABC的面积为9，点P为
边AB上动点，过点B作BD∥AC,交CP的延长线于点D，∠ACP的的平分线交AB于点E．
（1） 如图1，当CD⊥AB时，求PE的长；
（2） 如图2，当点E为AB中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
A
B
C
D
E
P
图1
P
A
B
C
D
E
图2
F
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）过点E作EF⊥AC于点F
，， ， ．
在中，由勾股定理得：，
，．
平分，CD⊥AB，EF⊥AC，
易证， ， ．
在中，，，
；
（2）连接并延长交于点，
，，
，，
又，，
，平分，
，，
．
【总结】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用及基本图形的应用．
【练习49】 如图，已知点，AB⊥X轴，垂足为点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到．
（1） 在图中画出，并直接写出的坐标；
（2） 求的长；
x
y
A
B
C
（3） 在轴上是否存在点C，使得△为等腰三角形，如果存在，请求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）；．
（2）．
（3）存在，
①为以为圆心，为半径与轴的交点，即，
则；
②、为以为圆心，为半径与轴的交点，即，
则，；
③为线段垂直平分线与轴的交点，即，
设，则，在中，由勾股定理得：
，故，所以．
【总结】本题考查了旋转的特征及等腰三角形的性质，注意要分类讨论．
【练习50】 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与△ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H．
（1） 求证：AE=AF；
（2） 设CE=，△BDF的面积为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3） 当△DEF是直角三角形时，求出BF的长．
A
B
C
D
E
F
D
A
B
C
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：平分，，，，
，又，
，；
（2）过点作于，
在中，，，
平分，，
，，
又在中，，
由勾股定理，，
又，
则在中，，
，
即，
点不与重合，．
（3）由（1）得，
， ，，．
， 而使为直角三角形，
，．
又，，，
又，，．
由（2）得：，即．
所以当时，为直角三角形．
【总结】本题考查了直角三角形的性质以及面积与函数关系式的求法，综合性较强，注意认真分析．
【练习51】 已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，连接BD如图1所示，
点P沿梯形的边，从A-B-C-D-A移动，设点P移动的距离是x，BP=y．
（1）求证：∠A=2∠CBD；
（2）当点P从A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示，求CD的长；
（3）在（2）的情况下，点P从点A-B-C-D-A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰
三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的值；若不能，请说明理由．
O
8
5 M
N
图2
x
y
图1
A
B
C
D
F
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：，为等腰三角形．
又，
，
，
；
（2）由函数图像可知：，
过点D作DF⊥AB，那么DF与AB平行且相等，
由勾股定理，可得，
所以；
（3）要使为等腰三角形，分以下几种情况讨论：
①当点P在AB边上时，如果，那么点在的中垂线上，
故作BD中垂线，由于AB=AD，则点A必在中垂线上，即点P与点A重合，
D
A
B
C
P
F
图一
此时；
如果（如图一），过点P作PF⊥AB于点F，
由等腰三角形性质可得：，
所以；
如果，此时，；
D
A
B
C
图二
P
②当点P在BC边上时，只有（如图二）．
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
即，解得：，
所以；
D
A
B
C
图三
P
G
③当点P在CD上时，没有满足条件的点；
④当点P在DA上时（如图三），
如果，过点B作BG⊥AD于点G，
则．
因为，，解得：．
此时；
如果，那么，此时；
如果，那么P点与A点重合，此时，
综上所述，当△BDP为等腰三角形时，x的值为0或3或或或11或或14．
【总结】本题考查了等腰三角形的性质应用及数形结合的思想，综合性较强，涉及到动点的问题，最后一问注意解题时进行多个角度的分类讨论．
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