2020高考数学一轮复习检测：第1章 第5节　函数的奇偶性与周期性(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．(2018·唐山二模)函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)A．－3　　　　　　　　　 B．－1C．1  D．2解析：选B.由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故选B.2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数解析：选A.易知函数f(x)的定义域为R且关于原点对称．∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－在R上是增函数，∴f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.3．(2018·南京模拟)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)A．－1  B．0C．1  D．2解析：选D.设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，因此f(lg 2)＋f＝2.4．(2018·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)A.＋1  B．－1C．－－1  D．－＋1解析：选D.因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.5．(2018·乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)A.  B．C.  D．解析：选A.∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，故选A.6．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)A．－2  B．－1C．0  D．2解析：选D.当x＞时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，故选D.7．(2018·青岛模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)A．0＜f(1)＜f(3)  B．f(3)＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3)  D．f(3)＜f(1)＜0解析：选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)，故选C.8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，又∵f(x)的周期为2，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.∴f＋f(1)＝－2.答案：－29．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________．解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.答案：－110．(2018·武汉模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.答案：B级　能力提升练11．(2018·莆田模拟)对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)A．2和1  B．2和0C．2和－1  D．2和－2解析：选B.设g(x)＝asin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.12．(2018·佛山模拟)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)A．c＜b＜a  B．c＜a＜bC．a＜c＜b  D．a＜b＜c解析：选B.因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函数f(x)的周期为4，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.13．(2018·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)  B．(－1，2)C．(－2，1)  D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.14．(2018·河北衡水中学一模)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)A．0  B．2C．3  D．4解析：选B.∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.15．(2018·内蒙古包头模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－816．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　)A．f(－31)＜f(84)＜f(13)B．f(84)＜f(13)＜f(－31)C．f(13)＜f(84)＜f(－31)D．f(－31)＜f(13)＜f(84)解析：选A.根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间上是增函数，则函数f(x)在上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.C级　素养加强练17．(2018·泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数关于x＝1对称．由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．答案：①②③④