2020年高考数学一轮复习教案：第6章 第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含解析)

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域 Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常见结论]1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．               (　　)(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． (　　)(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．                            (　　)(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．              (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．　[直线2x－3y＋6＝0上方的点满足不等式y＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.]4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]5．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．3　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.作出直线y＝－x，并平移该直线，当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.C　[由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)A．a<5          B．a≥7C．5≤a<7   D．a<5或a≥7C　[如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]3．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．　[直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.][规律方法]　确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法1“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组，则不等式组表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.2当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点. 求目标函数的最值问题 ►考法1　求线性目标函数的最值【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．(1)6　(2)3　[(1)画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋2y＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B(2,0)时，直线z＝3x＋2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当时，zmax＝3×2＋0＝6.(2)x＋1≤y≤2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1,2)处取得最小值，最小值为3.]►考法2　求非线性目标函数的最值【例2】　实数x，y满足(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．[解]　由作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由得B(1,2)，所以kOB＝＝2，即zmin＝2，所以z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由得A(0,1)，所以OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，所以z的取值范围是[1,5]．[拓展探究]　(1)保持本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围．(2)保持本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．[解]　(1)z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以z的取值范围是(－∞，0]．(2)z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ＝2＝，所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.►考法3　求参数的值【例3】　(1)已知实数x，y满足若z＝x－my(m＞0)的最大值为4，则m＝________.(2)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝________.(1)3　(2)1　[(1)作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由得B(－2，－2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因为z＝x－my(m＞0)，则y＝x－z，当＞，即0＜m＜2时，z＝x－my在点A(2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m≥2，此时z＝x－my在点B(－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m＝4，解得m＝3.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.][规律方法]　1求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线.②平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置.③求值——解方程组求出对应点坐标即最优解，代入目标函数，即可求出最值.2常见的三类目标函数①截距型：形如z＝ax＋by.,求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.②距离型：形如z＝x－a2＋y－b2.表示点x，y与a，b的距离的平方.③斜率型：形如.表示点x，y与点a，b连线的斜率. (1)(2019·长春模拟)若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最小值为________．(2)若实数x，y满足约束条件则的最小值为________．(3)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．(1)－5　(2)－　(3)5　[(1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由z＝x－2y得y＝x－z.平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5. (2)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.(3)画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得∴2×3－1－m＝0，m＝5.由图知，平移l经过B点时，z最小，∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.] 线性规划的实际应用  【例4】　(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得则点M的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．[规律方法]　解线性规划应用问题的一般步骤1审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.2设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x，y并列出相应的不等式组和目标函数.3作图：准确作出可行域，平移找点最优解.4求解：代入目标函数求解最大值或最小值.,5检验：根据结果，检验反馈. (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．216 000　[设生产产品A为x件，产品B为y件，则目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]1．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)A．[－3,0]　　　　　 B．[－3,2]C．[0,2]   D．[0,3]B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)A．－5          B．3C．－5或3   D．5或－3B　[二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最值，因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.]3．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．9　[画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9.]4．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．3　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.]