2020年高考数学一轮复习教案：第6章 第3节　基本不等式(含解析)

第三节　基本不等式[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；(3)ab≤(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．重要不等式链若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.  (　　)(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. (　　)(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件． (　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80　　　B．77　　　C．81　　　D．82C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab          B．a＋b≥2C.＋>   D.＋≥2D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]4．若x＞1，则x＋的最小值为________．5　[x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．]5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．2　[由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2.当且仅当x2＝2y2时等号成立．]利用基本不等式求最值►考法1　直接法或配凑法求最值【例1】　(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(1)　(2)1　[(1)由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．(2)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]►考法2　常数代换法求最值【例2】　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．4　[因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．][拓展探究]　(1)若本例条件不变，求的最小值；(2)若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．[解]　(1)＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，等号成立．(2)因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.当且仅当a＝b时，等号成立．[规律方法]　利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：1利用基本不等式直接求解.2对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.3条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.  (1)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋　　　　　 B．1＋C．3   D．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．a≥          B．a＞C．a＜   D．a≤(3)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为________．(1)C　(2)A　(3)　[(1)当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.(2)由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A.(3)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋＝(2x＋y)＝≥＝，当且仅当x＝y＝时取等号．∴＋的最小值为.]基本不等式的实际应用【例3】　某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[规律方法]　利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．[解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)＝(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．