2020年高考数学一轮复习教案：第8章 第8节 第3课时　定点、定值、探索性问题(含解析)

第3课时　定点、定值、探索性问题定点问题【例1】　(2019·开封第一次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．[解]　(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，联立得x2－4kx＋8＝0，∴kAC＝＝＝，则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋.∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，故直线AC恒过定点(0,2)．[规律方法]　 圆锥曲线中定点问题的两种解法 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4b＝0.由根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)．所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．定值问题【例2】　已知椭圆C：＋＝1，过点A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．[解]　(1)由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.(2)证明：设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋，由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|＝(2＋)(1＋)＝＝＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.[规律方法]　求定值问题的常用方法1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.2直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[解]　(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．探索性问题 【例3】　如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解]　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.此时·＋λ·＝－3为定值．②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.[规律方法]　解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时要分类讨论；2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解]　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在.(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.