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2020高考数学一轮复习检测:第11章 第1节 坐标系(含解析)
展开限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级 基础夯实练1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(1)∵ρcos=1,∴ρcos θ·cos+ρsin θ·sin=1.∴x+y=1.即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0.令y=0,则x=2;令x=0,则y=.∴M(2,0),N.∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.(2)∵M,N连线的中点P的直角坐标为,∴P的极角为θ=.∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C1,C2的极坐标方程;解:因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.3.(2018·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l′,若直线l′上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l′的方程为y=2x+2m,易知AB为圆C的直径,故直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为-2.B级 能力提升练4.圆心C的极坐标为,且圆C经过极点.(1)求圆C的极坐标方程.(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.解:(1)圆心C的直角坐标为(,),则设圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=r2,依题意可知r2=(0-)2+(0-)2=4,故圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=4,化为极坐标方程为ρ2-2ρ(sin θ+cos θ)=0,即ρ=2(sin θ+cos θ).(2)在圆C的直角坐标方程x2+y2-2(x+y)=0中,令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或2,于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0),(2,0),由于直线过圆心C(,)和点(2,0),则该直线的直角坐标方程为y-0=(x-2),即x+y-2=0.化为极坐标方程得ρcos θ+ρsin θ-2=0.5.(2018·洛阳模拟)在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数.(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d=>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为2+2=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.6.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解:(1)将,消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将,代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得,或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.