2020高考数学一轮复习检测：第8章 第8节　曲线与方程(含解析)

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A级　基础夯实练

1．(2018·云南质量检测)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＝2　　　　　　 B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±)  D．x2＋y2＝4(x≠±2)

解析：选D.MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.

2．(2018·湖北荆门调考)已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示(　　)

A．焦点在x轴上的双曲线

B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的椭圆

解析：选D.因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝－＜0，又sin θ＋cos θ＝＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故＞＞0，而x2sin θ－y2cos θ＝1可化为＋＝1，故方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．

3．(2018·浙江杭州七校质量检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)

A．直线  B．圆

C．椭圆  D．双曲线

解析：选B.不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝|F2S|＝(|QS|－|QF2|)＝(|QF1|－|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆．

4．(2018·湖北武汉调研)已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝x和直线y＝－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)

A．(2，0)  B．(3，0)

C．(0，2)  D．(0，3)

解析：选A.不等式3x2－y2＞0⇒(x－y)(x＋y)＞0⇒或其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P(x，y)到直线y＝x和直线y＝－x的距离分别为|PA|＝＝，|PB|＝＝，

∵∠AOB＝120°，∴∠APB＝60°，

∴S△PAB＝×|PA|×|PB|sin 60°＝×，又S△PAB＝，

∴×＝，∴3x2－y2＝3，即x2－＝1，

∴P点的轨迹是双曲线，其焦点为(±2，0)，故选A.

5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)

A．圆  B．椭圆

C．抛物线  D．双曲线

解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为＝λ·，

所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，

当λ＝1时，轨迹是圆；

当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；

当λ＜0时，轨迹是双曲线；

当λ＝0时，轨迹是直线．

综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．

6．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1  B．＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，则解得

由|AB|＝5，得＋＝25，

化简得＋＝1.

7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是________．

解析：由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.

答案：x＋2y＋5＝0

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．

解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.

答案：y＝2x－2

9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________．

解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

答案：＋＝1(y≠0)

10．(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．

解：(1)由题意，得＝5，

即＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.

轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．

(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，

此时所截得的线段长度为2＝8，

所以l：x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离

d＝，

由题意，得＋42＝52，解得k＝.

所以直线l的方程为x－y＋＝0，

即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.

B级　能力提升练

11．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)

A．x＋y＝5　　　　　　 B．x2＋y2＝9

C.＋＝1  D．x2＝16y

解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．

12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)

A．直线  B．圆

C．双曲线  D．抛物线

解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．

由题意知|PE|2－|PM|2＝1，

又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，

所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，

即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，

所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．

由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，

AD为准线的抛物线，

所以点P的轨迹为抛物线．

13．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)

A.－＝1(x≠0)  B．＋＝1(x≠0)

C.－＝1(y≠0)  D．＋＝1(y≠0)

解析：选D.设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|＝2|OP|＝6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|＝|FA|，|FB|＝|BB′|，

所以|FA|＋|FB|＝|AA′|＋|BB′|＝6＞|AB|＝2，

所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

14．如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________．

解析：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．

设曲线M的方程为＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，

则a2＝4，b2＝a2－＝3，所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．

答案：＋＝1(y≠0)

15．(2018·安徽合肥检测)已知M为椭圆C：＋＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足＝.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围．

解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m，0)，且y≠0.

由＝，得(m－x，－y)＝(0，－n)，

则有⇒

又M(m，n)为椭圆C：＋＝1上的点，

∴＋＝1，即x2＋y2＝25，

故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．

(2)依题意知A(－5，0)，B(5，0)，F(－4，0)，设Q(x0，y0)，

∵线段AB为圆E的直径，

∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝－，

＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·＝－＝－

＝＝＝，

∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，

∴－5＜x0＜5且x0≠－4，

又y＝在(－5，－4)和(－4，5)上都是减函数，

∴∈(－∞，0)∪，

故的取值范围是(－∞，0)∪.