2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第八章第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

1.理解空间直线、平面位置关系的定义．
2.了解可以作为推理依据的公理和定理．
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

突破点一　平面的基本性质


1．公理1～3

文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
[点拨]　公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、填空题
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________．
答案：4
2．下列命题中，真命题是________．
(1)空间不同三点确定一个平面；
(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；
(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；
(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．
解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．
答案：(4)
3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.
答案：③


1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝，故选D.
2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．
求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，

∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝A1B.
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，
设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，
又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．

共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四 点不共面．
2.如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
突破点二　空间中两直线的位置关系


1．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系

(2)公理4和等角定理
①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　)
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线．(　　)
(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、填空题
1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是____________．
答案：相交、平行或异面
2．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成的角为________．
答案：
3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
答案：3




考法一　空间两直线位置关系的判定　
[例1]　(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
(2)在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

[解析]　(1)法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．
法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．
[答案]　(1)B　(2)②④
[方法技巧]　　空间两直线位置关系的判定方法

考法二　异面直线所成的角　

[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．
连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，
∴cos∠DB1F＝.
[答案]　C
[方法技巧]　平移法求异面直线所成角的步骤
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
寻找
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角


1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
解析：选D　构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.
2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．
3.如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C　如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.
4.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．
因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝＝，
所以cos∠B1AD1＝＝.
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．下列命题中，真命题的个数为(　　)
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选B　根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.
2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：选C　如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾．故选C.
3．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
4．(2019·银川一中模拟)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A　如图，取AC的中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．下列说法错误的是(　　)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
解析：选D　两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.
2．(2019·长春质检)平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；
②α，β至少有三个公共点；
③α，β至少有一条公共直线；
④α，β至多有一条公共直线．
以上四个判断中不成立的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
3．(2019·云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是(　　)
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．
A．①与② B．②与③
C．③与④ D．②与④
解析：选D　直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．
4．(2019·成都模拟)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：
①四边形EFGH是平行四边形；
②平面α∥平面BCC1B1；
③平面α⊥平面BCFE.
其中正确的命题有(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C　由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选C.
5.(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．所以正确结论的个数是2.
6．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)

A．AB∥CD B．AB与CD相交
C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°
解析：选D　如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确．图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.

7．(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D．－

解析：选A　如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.
8．(2019·福州质检)在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(　　)
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
解析：选D　在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
9.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法中正确的是________(填序号)．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．
答案：④
10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．
①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
解析：由α∥β，m⊂α，可得m∥β，所以①正确；由m∥α，n⊂α，可得m，n平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m与β相交或m⊂β，所以③不正确；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正确．综上，正确命题的序号是①④.
答案：①④
11．(2019·广东百校联盟联考)如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．
解析：不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝.即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为.
答案：
12．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．
①不论D折至何位置(不在平面内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.

解析：如图，①易证ABCE为矩形，连接AC，则N在AC上，连接CD，BD，易证在△ACD中，MN为中位线，MN∥DC，又MN⊄平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正确．
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC＝E，
∴AE⊥平面CED，
又CD⊂平面CED，
∴AE⊥CD，∴MN⊥AE，②正确．
③MN与AB异面．假若MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，
从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾．③错误．
答案：①②
13.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.
(1)求a的值；
(2)求三棱锥B1­A1BC的体积．
解：(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°.又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，则A1B＝A1C，∴△A1BC为等边三角形，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°⇒BC＝，∴A1B＝⇒＝⇒a＝1.
(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A，∴CA⊥平面A1B1B，∴VB1­A1BC＝VC­A1B1B＝××1＝.
14.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.