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    2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义:第七章第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

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    第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

    突破点一 平面的基本性质

    1公理13

     

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    公理1

    如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

     lα

    公理2

    不在一条直线上的三点,有且只有一个平面

    ABC三点不共线有且只有一个平面α,使AαBαCα

    公理3

    如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

    Pα,且Pβαβl,且Pl

    [点拨] 公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据,公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据,公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

    2公理2的三个推论

    推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;

    推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;

    推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

    一、判断题(对的打,错的打“×”)

    (1)如果两个不重合的平面αβ有一条公共直线a,就说平面αβ相交,并记作αβa.(  )

    (2)两个平面αβ有一个公共点A,就说αβ相交于过A点的任意一条直线.(  )

    (3)两个平面αβ有一个公共点A,就说αβ相交于A点,并记作αβA.(  )

    (4)两个平面ABCDBC相交于线段BC.(  )

    答案:(1) (2)× (3)× (4)×

    二、填空题

    1.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数有________

    答案:4

    2.下列命题中,真命题是________

    (1)空间不同三点确定一个平面;

    (2)空间两两相交的三条直线确定一个平面;

    (3)两组对边相等的四边形是平行四边形;

    (4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内.

    解析:(1)是假命题,当三点共线时,过三点有无数个平面;(2)是假命题,当三条直线共点时,不能确定一个平面;(3)是假命题,两组对边相等的四边形可能是空间四边形;(4)是真命题.

    答案:(4)

    3.设P表示一个点,ab表示两条直线,αβ表示两个平面,给出下列三个命题,其中真命题是________(填序号)

    PaPαaα

    abPbβaβ

    abaαPbPαbα.

    答案:

    1.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2MCC1的中点,N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMNAA1于点Q,则线段AQ的长为(  )

    A.           B.

    C.   D.

    解析:D 如图所示,过点AAEBMDD1于点E,则EDD1的中点,过点NNTAEA1A于点T,此时NTBM,所以BMNT四点共面,所以点Q与点T重合,易知AQNE,故选D.

    2.如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,EF分别是ABAA1的中点.

    求证:

    (1)ECD1F四点共面;

    (2)CED1FDA三线共点.

    证明:(1)如图所示,连接CD1EFA1B

    EF分别是ABAA1的中点,EFA1BEFA1B.

    A1D1BC

    四边形A1BCD1是平行四边形,

    A1BCD1EFCD1

    EFCD1确定一个平面,即ECD1F四点共面.

    (2)(1)EFCD1EFCD1

    四边形CD1FE是梯形,CED1F必相交,

    设交点为P,则PCE,且PD1F

    CE平面ABCD,且D1F平面A1ADD1

    P平面ABCD,且P平面A1ADD1.

    又平面ABCD平面A1ADD1ADPAD

    CED1FDA三线共点.

    共面、共线、共点问题的证明方法

    (1)证明点或线共面问题的两种方法:

    首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;

    将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.

    (2)证明点共线问题的两种方法:

    先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;

    直接证明这些点都在同一条特定直线上.

    (3)证明线共点问题的常用方法:

    先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.

    1.如图是正方体或四面体,PQRS分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(  )

    解析:D ABC图中四点一定共面,D中四 点不共面.

    2.如图,ABCD­A1B1C1D1是长方体,OB1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(  )

    AAMO三点共线

    BAMOA1不共面

    CAMCO不共面

    DBB1OM共面

    解析:A 连接A1C1ACA1C1AC所以A1C1CA四点共面所以A1C平面ACC1A1因为MA1C所以M平面ACC1A1M平面AB1D1所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上所以AMO三点共线

    突破点二 空间中两直线的位置关系

    1空间中两直线的位置关系

    (1)空间中两直线的位置关系

    (2)公理4和等角定理

    公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

    等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

    2异面直线所成的角

    (1)定义:设ab是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aabb,把ab所成的锐角(或直角)叫做异面直线ab所成的角(或夹角)

    (2)范围:.

    一、判断题(对的打,错的打“×”)

    (1)已知ab是异面直线,直线c平行于直线a,那么cb不可能是平行直线.(  )

    (2)没有公共点的两条直线是异面直线.(  )

    (3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线.(  )

    (4)若两条直线共面,则这两条直线一定相交.(  )

    答案:(1) (2)× (3) (4)×

    二、填空题

    1.已知直线a和平面αβαβlaαaβ,且aαβ内的射影分别为直线bc,则直线bc的位置关系是____________

    答案:相交、平行或异面

    2.长方体ABCD­A1B1C1D1中,ABBC1AA1,则异面直线BD1CC1所成的角为________

    答案:

    3.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的ABCDEFGH在原正方体中互为异面直线的有________对.

    答案:3

     

     

    考法一 空间两直线位置关系的判定 

    [1] (1)已知abc为三条不重合的直线,有以下结论:

    abac,则bcabac,则bcabbc,则ac.其中正确的个数为(  )

    A0           B1

    C2   D3

    (2)在下列四个图中,GNMH分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GHMN是异面直线的图形有________(填序号)

    [解析] (1)法一:在空间中,若abac,则bc可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错误,显然成立.

    法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错误,正确.

    (2)中,直线GHMN;图中,GHN三点共面,但M平面GHN,因此直线GHMN异面;图中,连接MGGMHN,因此GHMN共面;图中,GMN共面,但H平面GMN,因此GHMN异面.所以在图②④中,GHMN异面.

    [答案] (1)B (2)②④

    [方法技巧]  空间两直线位置关系的判定方法

    考法二 异面直线所成的角 

    [2] (2018·全国卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中,ABBC1AA1,则异面直线AD1DB1所成角的余弦值为(  )

    A.   B.

    C.   D.

    [解析] 如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F,由长方体性质可知,B1FAD1,所以DB1F为异面直线AD1DB1所成的角或其补角.

    连接DF,由题意,得DFFB12DB1.

    DFB1中,由余弦定理,得

    DF2FBDB2FB1·DB1·cosDB1F

    5452×2××cosDB1F

    cosDB1F.

    [答案] C

    [方法技巧] 平移法求异面直线所成角的步骤

    平移

    平移的方法一般有三种类型:(1)利用图中已有的平行线平移;(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;(3)补形平移

    证明

    证明所作的角是异面直线所成的角或其补角

    寻找

    在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之

    取舍

    因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角

     

    1.若空间中四条两两不同的直线l1l2l3l4,满足l1l2l2l3l3l4,则下列结论一定正确的是(  )

    Al1l4

    Bl1l4

    Cl1l4既不垂直也不平行

    Dl1l4的位置关系不确定

    解析:D 构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1,取l1ADl2AA1l3A1B1,当取l4B1C1时,l1l4,当取l4BB1时,l1l4,故排除ABC,选D.

    2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中,EF分别是线段BCCD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(  )

    A.相交   B.异面

    C.平行   D.垂直

    解析:A 由BCADADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1BCD1EFD1CF,则A1BEF相交.

    3.如图,在长方体ABCD ­A1B1C1D1中,AB2BC1BB11PAB的中点,则异面直线BC1PD所成的角等于(  )

    A30°   B45°

    C60°   D90°

     

    解析:C 如图,取A1B1的中点E,连接D1EAD1AE,则AD1E即为异面直线BC1PD所成的角.因为AB2,所以A1E1,又BCBB11,所以D1EAD1AE,所以AD1E为正三角形,所以AD1E60°,故选C.

    4.(2017·全国卷)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中,ABC120°AB2BCCC11,则异面直线AB1BC1所成角的余弦值为(  )

    A.   B.

    C.   D.

    解析:C 如图所示,将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1,连接AD1B1D1,则AD1BC1,所以B1AD1或其补角为异面直线AB1BC1所成的角.

    因为ABC120°AB2BCCC11

    所以AB1AD1.B1D1C1中,B1C1D160°B1C11D1C12

    所以B1D1

    所以cosB1AD1.

     

     

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