2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第七章第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

突破点一　平面的基本性质

1．公理1～3

[点拨]　公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．

2．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)

(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)

(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、填空题

1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________．

答案：4

2．下列命题中，真命题是________．

(1)空间不同三点确定一个平面；

(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；

(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；

(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．

解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．

答案：(4)

3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.

答案：③

1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝，故选D.

2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．

求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，

∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝A1B.

又∵A1D1綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，

∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．

(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，

∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，

设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，

又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，

∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，

∴CE，D1F，DA三线共点．

共面、共线、共点问题的证明方法

(1)证明点或线共面问题的两种方法：

①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

(2)证明点共线问题的两种方法：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四 点不共面．

2.如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

A．A，M，O三点共线

B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面

D．B，B1，O，M共面

解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．

突破点二　空间中两直线的位置关系

1．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

(2)公理4和等角定理

①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2．异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　)

(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)

(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线．(　　)

(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

二、填空题

1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是____________．

答案：相交、平行或异面

2．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成的角为________．

答案：

3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．

答案：3

考法一　空间两直线位置关系的判定　

[例1]　(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　 　B．1

C．2   D．3

(2)在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

[解析]　(1)法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．

法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

[答案]　(1)B　(2)②④

[方法技巧]　　空间两直线位置关系的判定方法

考法二　异面直线所成的角　

[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．

连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.

在△DFB1中，由余弦定理，得

DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，

即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，

∴cos∠DB1F＝.

[答案]　C

[方法技巧]　平移法求异面直线所成角的步骤

1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

解析：选D　构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.

2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交   B．异面

C．平行   D．垂直

解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．

3.如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．90°

解析：选C　如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.

4.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．

因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，

所以B1D1＝＝，

所以cos∠B1AD1＝＝.