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    2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义:选修4-4第二节 参数方程
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    2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义:选修4-4第二节 参数方程

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    第二节 参数方程

    1.了解参数方程,了解参数的意义.
    2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

    突破点一 参数方程


    1.参数方程
    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数:并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
    2.直线、圆、椭圆的参数方程
    (1)过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).
    (2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).
    (3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为
    (φ为参数).

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线.(  )
    (2)直线y=x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(  )
    答案:(1)√ (2)×
    二、填空题
    1.曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C的普通方程为____________________.
    解析:由(θ为参数)消去参数θ,得y=2-2x2(-1≤x≤1).
    答案:y=2-2x2(-1≤x≤1)
    2.椭圆C的参数方程为(φ为参数),过左焦点F1的直线l与C相交于A,B两点,则|AB|min=________.
    答案:
    3.参数方程(t为参数)化为普通方程为________________________.
    解析:∵x=,
    y===4-3×=4-3x.
    又x===2-∈[0,2),
    ∴x∈[0,2),
    ∴所求的普通方程为3x+y-4=0(x∈[0,2)).
    答案:3x+y-4=0(x∈[0,2))


    考法一 参数方程与普通方程的互化 
    [例1] 将下列参数方程化为普通方程.
    (1)(k为参数);
    (2)(θ为参数).
    [解] (1)两式相除,得k=,
    将其代入x=,得x=,
    化简得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6).
    (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),
    得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2],
    故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2].
    [方法技巧]
    将参数方程化为普通方程的方法
    (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等.
    (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.  
    考法二 参数方程的应用 
    [例2] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
    (1)求C和l的直角坐标方程;
    (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
    [解] (1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
    当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
    当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
    (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
    因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,
    所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
    又由①得t1+t2=-,
    故2cos α+sin α=0,
    于是直线l的斜率k=tan α=-2.
    [方法技巧]
    1.直线参数方程的标准形式的应用
    过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则
    (1)|M1M2|=|t1-t2|.
    (2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=.
    (3)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
    2.圆和圆锥曲线参数方程的应用
    有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.  

    1.求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数.
    解:将消去参数t得直线x+y-1=0;
    将消去参数α,得圆x2+y2=9.
    又圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=<3.
    因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.
    2.已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.
    解:因为直线l过定点M,且l的倾斜角为,
    所以它的参数方程为(t为参数),
    即(t为参数),
    把它代入抛物线的方程,得t2+t-2=0,
    由根与系数的关系得t1+t2=-,t1·t2=-2,
    由参数t的几何意义可知|AB|=|t1-t2|=,
    |MA|·|MB|=|t1t2|=2.
    突破点二 参数方程与极坐标方程的综合问题
    [典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
    (1)写出C的普通方程;
    (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
    [解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);
    消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
    设P(x,y),由题设得
    消去k得x2-y2=4(y≠0).
    所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
    (2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
    联立
    得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
    故tan θ=-,
    从而cos2θ=,sin2θ=.
    代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
    所以交点M的极径为.

    [方法技巧]
    处理参数方程与极坐标方程综合问题的方法
    (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
    (2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.  
    [针对训练]
    1.(2019·贵阳模拟)曲线C的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=.
    (1)写出C的普通方程,并用(α为直线的倾斜角,t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程;
    (2)l与C是否相交?若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由.
    解:(1)C的普通方程为+y2=1,
    由ρcos=得x-y-2=0,
    则直线l的倾斜角为,
    又直线l过点(2,0),得直线l的一个参数方程为(t为参数).
    (2)将l的参数方程代入C的普通方程得
    5t2+4t=0,解得t1=0,t2=-,
    显然l与C有两个交点,分别记为A,B,且|AB|=|t1-t2|=.
    2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心C的极坐标为,半径为2,直线l与圆C交于M,N两点.
    (1)求圆C的极坐标方程;
    (2)当φ变化时,求弦长|MN|的取值范围.
    解:(1)由已知,得圆心C的直角坐标为(1,),圆的半径为2,
    ∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4,
    即x2+y2-2x-2y=0,
    ∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ=0,
    故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.
    (2)由(1)知,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,
    将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得,
    (2+tcos φ)2+(+tsin φ)2-2(2+tcos φ)-2(+tsin φ)=0,整理得,t2+2tcos φ-3=0,
    设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,
    则t1+t2=-2cos φ,t1·t2=-3,
    ∴|MN|=|t1-t2|==.
    ∵φ∈,∴cos φ∈,∴|MN|∈[,4].
    故弦长|MN|的取值范围为[,4].
    [课时跟踪检测]
    1.(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C的参数方程是(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
    (1)求曲线C与直线l的普通方程;
    (2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=,求实数m的值.
    解:(1)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2+(y-m)2=1.由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t,得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为2x-y+2=0.
    (2)圆心(0,m)到直线l的距离为d=,由勾股定理得2+2=1,解得m=3或m=1.
    2.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
    (1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
    (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
    解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
    当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
    由解得或
    从而C与l的交点坐标为(3,0),.
    (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,
    故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为
    d=.
    当a≥-4时,d的最大值为 .
    由题设得=,解得a=8;
    当a<-4时,d的最大值为.
    由题设得=,解得a=-16.
    综上,a=8或a=-16.
    3.(2019·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sin θ=ρ.
    (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
    (2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2),若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|MA|·|MB|的值.
    解:(1)由消去参数t可得y=(x-2)+2,
    ∴直线l的普通方程为x-y+2-2=0.
    ∵ρsin2θ+4sin θ=ρ,∴ρ2sin2θ+4ρsin θ=ρ2.
    ∵ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,
    ∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.
    (2)将代入抛物线方程x2=4y中,
    可得2=4,
    即t2+(8-8)t-16=0.
    ∵Δ>0,且点M在直线l上,
    ∴此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数t1,t2,
    ∴t1t2=-16,
    ∴|MA|·|MB|=|t1t2|=16.
    4.(2019·贵州联考)以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的单位长度相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=,过点M(2,-2)且倾斜角为α的直线l与曲线C交于A,B两点.
    (1)求曲线C的直角坐标方程,并用(α为直线的倾斜角,t为参数)的形式写出直线l的参数方程;
    (2)若M是线段AB的中点,求α的值.
    解:(1)由ρ=得ρsin2θ=4cos θ,
    ∴ρ2sin2θ=4ρcos θ,即y2=4x(x≠0),
    ∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x(x≠0);
    直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π).
    (2)将代入y2=4x(x≠0)得
    (sin2α)t2-4(sin α+cos α)t-4=0,
    ∴t1+t2==0,∴α=.
    5.(2019·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=(0≤θ≤π).
    (1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
    (2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.
    解:(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.
    由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],
    ∴曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).
    (2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos α,sin α),α∈[0,π],
    则点P到曲线C1的距离
    d==.
    ∵α∈[0,π],
    ∴cos∈,2cos∈[-2,].
    由点P到曲线C1的最小距离为2得,
    若m+<0,则m+=-4,即m=-4-;
    若m-2>0,则m-2=4,即m=6;
    若m-2≤0,m+≥0,即-≤m≤2时,
    min=0,不合题意,舍去.
    综上,m=-4-或m=6.
    6.(2019·广州花都区模拟)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).
    (1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
    (2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l距离的最小值.
    解:(1)由已知得l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,
    联立方程解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.
    (2)由题意,得C2的参数方程为(θ为参数),
    故点P的坐标为,
    从而点P到直线l的距离是
    d==,
    当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为.
    7.(2019·辽宁五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π].
    (1)求曲线C的直角坐标方程;
    (2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数)的距离最短,写出D点的直角坐标.
    解:(1)由ρ=2sin θ可得ρ2=2ρsin θ,
    ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
    (2)直线l的参数方程为(t为参数),
    消去t得l的普通方程为y=-x+5,
    由(1)得曲线C的圆心为(0,1),半径为1,
    又点(0,1)到直线l的距离为=2>1,
    所以曲线C与l相离.
    设D(x0,y0),且点D到直线l:y=-x+5的距离最短,则曲线C在点D处的切线与直线l:y=-x+5平行,
    ∴·(-)=-1,
    又x+(y0-1)2=1,
    ∴x0=-(舍去)或x0=,∴y0=,
    ∴点D的直角坐标为.
    8.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
    (1)求α的取值范围;
    (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
    解:(1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.
    当α=时,l与⊙O交于两点.
    当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.
    l与⊙O交于两点需满足<1,
    解得k<-1或k>1,
    即α∈或α∈.
    综上,α的取值范围是.
    (2)l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,
    则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.
    于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.
    又点P的坐标(x,y)满足
    所以点P的轨迹的参数方程是
    .


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