2020版高考数学大一轮复习第19讲三角函数的图像与性质学案理新人教A版Word版

第19讲　三角函数的图像与性质


正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)

函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图像



定义域
R
R
xx∈R,且x≠
kπ+,k∈Z
值域
　　　 
　　　 
　　　 
周期性
2π
2π
π
奇偶性
　　　 
　　　 
奇函数
单调性
2kπ-,2kπ+上为增函数;　　　　　　　上为减函数 
[2kπ,2kπ+π]上为减函数;　　　　　　上为增函数 
kπ-,kπ+上为增函数
对称
中心
　　　　 
kπ+,0
,0
对称轴
x=kπ+
　　　　 
无


常用结论
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.


题组一　常识题
1.[教材改编] 函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是　　　　. 
2.[教材改编] 若函数y=Asin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是　　　　. 
3.[教材改编] 函数y=2cos x在[-π,0]上是　　　　函数,在[0,π]上是　　　　函数. 
4.[教材改编] 函数f(x)=的定义域为　　　　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:忽视y=Asin x(或y=Acos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.
5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是　　　　　　　. 
6.函数y=cos xtan x的值域是　　　　　. 
7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 　　　　. 
8.函数y=tan图像的对称中心是　　　　　　. 


探究点一　三角函数的定义域
例1 (1)函数f(x)=+tan的定义域为　　　　　　　　　. 
(2)函数y=ln(2cos x+1)+的定义域为　　　　　　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.
变式题 (1)函数y=的定义域为　　　　　　　　　. 
(2)函数f(x)=的定义域是　　　　　　　　　. 
探究点二　三角函数的值域或最值
例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是　　　　. 
(2)[2018·沧州质检] 已知x∈,则函数f(x)=2cos xsinx+-sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
变式题 (1)函数f(x)=sin-cos的最大值为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.
C.2 D.
(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是　　　　　　. 
探究点三　三角函数性质的有关问题
微点1　三角函数的周期性
例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为 (　　)
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
(2)若函数f(x)=1+asinax+(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] (1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.
微点2　三角函数的对称性
例4 (1)[2018·广西贺州联考] 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=x2-x互为同轴函数的是(　　)
A.g(x)=cos(2x-1) B.g(x)=sin πx
C.g(x)=tan x D.g(x)=cos πx
(2)[2018·重庆合川区三模] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图像关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
 
 
 
[总结反思] (1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.
微点3　三角函数的单调性
例5 (1)[2018·乌鲁木齐一检] 已知为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是 (　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)[2018·合肥一中月考] 已知ω>0,函数f(x)=cosωx+在上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
 
 
 
[总结反思] (1)形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.
应用演练
1.【微点3】[2018·西安八校联考] 已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=处取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是 (　　)
A. B.
C. D.
2.【微点3】[2018·浙江余姚中学月考] 设f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln π),c=f,则下列关系式正确的是 (　　)
A.a>b>c
B.b>c>a
C.a>c>b
D.b>a>c
3.【微点2】[2019·九江一中月考] 已知函数f(x)=Asin的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是 (　　)
A.x=1 B.x=
C.x= D.x=-1
4.【微点1】[2018·上海金山区二模] 函数y=3sin2x+的最小正周期T=　　　　. 








第19讲　三角函数的图像与性质
考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-,内的单调性.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.[-1,1]　[-1,1]　R　奇函数　偶函数　2kπ+,2kπ+　[2kπ-π,2kπ]　(kπ,0)　x=kπ

对点演练
1.π　[解析] 最小正周期T===π.
2.-1　[解析] 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.
3.增　减　[解析] 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.
4.(k∈Z)　[解析] 由题意知tan x≥1,所以+kπ≤x<+kπ(k∈Z).
5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[解析] 函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,即为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
6.(-1,1)　[解析] ∵x≠+kπ(k∈Z),y=cos xtan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos xtan x的值域是(-1,1).
7.1　[解析] 设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.
8.(k∈Z)　[解析] 由x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数y=tan图像的对称中心为(k∈Z).
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.
(1)x0 (2)由题意得即解得所以2kπ≤x<2kπ+,k∈Z,
所以函数的定义域为x2kπ≤x<2kπ+,k∈Z.
变式题　(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
(2)x2kπ- [解析] (1)由题意知sin x-cos x≥0.作出函数y=sin x和y=cos x的图像,如图所示.

在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
(2)依题意知,+2sin x>0,即sin x>-,结合函数y=sin x的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2kπ- 例2　[思路点拨] (1)将函数转化为以sin x为自变量的二次函数求最值;(2)将函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,再利用函数的单调性求最值.
(1)　(2)1　[解析] (1)由题知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4+,当sin x=-时,函数取得最大值,最大值为.
(2)由题可知,f(x)=2cos x-sin2x+sin xcos x=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin.
因为x∈,所以2x+∈,所以当2x+=,即x=时,函数取得最大值,即为2sin=2;当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值,即为2sin=-1.所以最大值与最小值之和为2-1=1.
变式题　(1)B　(2)　[解析] (1)∵f(x)=sin-cos=sinx--=sinx-=-cos x,∴当x=(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)取得最大值.
(2)令t=cos x-sin x,则t=cos∈[-,],又t2=1-2sin xcos x,所以sin xcos x=,所以y=t+4·=-2t2+t+2=-2+.因为t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值;当t=-时,y取得最小值-2-.所以函数的值域是.
例3　[思路点拨] (1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)首先求出参数a,再求最小正周期.
(1)A　(2)π　[解析] (1)对于①,y=cos|2x|=cos 2x,则它的最小正周期为=π;
对于②,y=|cos x|的最小正周期为×=π;
对于③,y=cos的最小正周期为=π;
对于④,y=tan的最小正周期为.
故选A.
(2)∵函数f(x)=1+asin(a>0)的最大值为1+a,∴1+a=3,∴a=2,
因此f(x)的最小正周期为=π.
例4　[思路点拨] (1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出ω=2,再由图像关于直线x=对称,求得φ=-,进而可求得f(x)的图像的对称中心.
(1)D　(2)B　[解析] (1)易知f(x)=x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=+(k∈Z);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=+k(k∈Z);对于选项C,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(k∈Z),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.
(2)由题意可得=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin(2x+φ).
∵函数f(x)的图像关于直线x=对称,∴f=Asin=±A,即sin=±1.∵|φ|<,∴φ=-,故函数f(x)=Asin.令2x-=kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,故函数f(x)的图像的对称中心为+,0,k∈Z.结合选项可知,
函数f(x)的图像的一个对称中心是.故选B.
例5　[思路点拨] (1)由条件求出φ,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)的单调递增区间,由是所求单调递增区间的子集得出ω的取值范围.
(1)C　(2)C　[解析] (1)∵为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<的一个零点,
∴f=sin=0,
∴+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故选C.
(2)令2kπ-π≤ωx+≤2kπ,k∈Z,∵ω>0,∴-≤x≤-,k∈Z,
∴函数f(x)=cos的单调递增区间为,k∈Z.
∵f(x)在上单调递增,
∴k∈Z,
解得6k-4≤ω≤4k-,k∈Z.由题意知,-≤×,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤.
应用演练
1.A　[解析] ∵函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=处取得最小值,∴cos=-1,∴+θ=π+2kπ,k∈Z,又∵0<θ<π,∴θ=,即f(x)=cos.令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤-+2kπ,k∈Z,又∵x∈[0,π],∴k=1,∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间是,故选A.
2.C　[解析] 因为函数f(x)=cos x是偶函数,所以c=f=f(ln 3).因为0f(ln 3)>f(ln π),即a>c>b.故选C.
3.C　[解析] 由题可知,函数的最小正周期T=2×2=4,所以ω==.令x+=kπ+,k∈Z,解得x=2k+,k∈Z,结合选项可知,x=满足条件.故选C.
4.π　[解析] 易知T==π.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.
例1　[配合例2使用] 已知函数f(x)=1+4cos x-4sin2x,x∈-,,则f(x)的值域为　　　　. 
[答案] [-4,5]
[解析] f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4-4,因为x∈,所以cos x∈,所以4-4∈[-4,5],故函数f(x)的值域为[-4,5].
例2　[配合例2使用] 若函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是 (　　)
A.∪ B.∪
C. D.
[解析] B　由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x的单调区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
由kπ+≤ωx+≤kπ+,k∈Z,
得≤x≤,k∈Z.
∵函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,
∴函数f(x)在区间(π,2π)内单调,
∴(π,2π)⊆,k∈Z,
即k∈Z,解得k+≤ω≤+,k∈Z.
由k+<+,k∈Z,得k<,k∈Z,
∴当k=0时,得≤ω≤;
当k=-1时,得-≤ω≤,又ω>0,故0<ω≤.
综上得,ω的取值范围是∪.
故选B.
例3　[配合例4使用] [2018·豫西南示范性高中联考] 已知定义在R上的函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,若α,β是钝角三角形中的两个锐角,则f(sin α)和f(cos β)的大小关系为 (　　)
A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α) C.f(sin α)=f(cos β) D.以上情况均有可能
[解析] B　已知f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,可得到f(x)的图像关于直线x=0对称,故函数f(x)是偶函数.因为α,β为钝角三角形中的两个锐角,所以α+β<,所以α<-β,故得到sin α 例4　[配合例5使用] [2018·四川双流中学一模] “φ=”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] A　由题意可得,函数y=cos 2x在区间上单调递减.
当φ=时,函数y=sin,x∈,可得2x+∈,
∴函数y=sin在区间上单调递减,∴充分性成立;
易知当φ=时,函数y=sin(2x+φ)在区间上也单调递减,∴必要性不成立.
∴“φ=”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的充分不必要条件.