2020版高考数学大一轮复习第23讲正弦定理和余弦定理学案理新人教A版Word版

第23讲　正弦定理和余弦定理


1.正弦定理和余弦定理

定理
正弦定理
余弦定理
公式
=　　　　　=　　　　　=2R(其中R是△ABC的外接圆的半径) 
a2=　　　　　　　, 
b2=　　　　　　　, 
c2=　　　　　　 
定理
的变
形
a=2Rsin A,b=　　　　　,c=　　　　　,a∶b∶c= 
　　　　　　　　　　　 　 
cos A=　　　　　, 
cos B=　　　　　, 
cos C=　　　　 

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:


A为锐角
A为钝角
或直角
图形




关系式
a=bsin A
bsin Asin B,则A,B的关系为　　　　. 
6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于　　　　. 
7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=　　　　,△ABC的面积等于　　　　. 
8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则△ABC为　　　　三角形. 

探究点一　利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,且b2+c2=3+bc.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求角A的大小;
(2)求bsin C的最大值.
 
 
 
[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
变式题 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=,则C= (　　)
A. B.
C.或 D.
(2)[2018·衡水中学月考] 已知△ABC满足BC·AC=2,若C=,=,则AB=　　　　. 
探究点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例2 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
 
 
 
[总结反思] 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若=,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形或等腰三角形
探究点三　与三角形面积有关的问题
例3 [2018·洛阳三模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A.
(1)求角A的大小;
(2)若sin Bsin C=,且△ABC的面积为2,求a.
 
 
 
[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.
变式题 [2018·黄冈中学月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.
(1)求△ABC的面积;
(2)若cos Bcos C=,求△ABC的周长.
 
 
 






第23讲　正弦定理和余弦定理
考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.
2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.　　b2+c2-2bccos A　c2+a2-2accos B　a2+b2-2abcos C　2Rsin B　2Rsin C　sin A∶sin B∶sin C　　　
2.一解　两解　一解　一解
对点演练
1.　[解析] 易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=,得=,解得b=.
2.　[解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+(2)2-2×5×2cos 30°=7,所以c=.
3.60°　[解析] 因为cos C==,所以C=60°.
4.4　[解析] 因为sin C==,所以△ABC的面积S=absin C=4.
5.A=B　A>B　[解析] 根据正弦定理知,在△ABC中有sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
6.45°　[解析] 由正弦定理知=,则sin B===.又a>b,所以A>B,所以B为锐角,故B=45°.
7.　　[解析] 易知c==,△ABC的面积等于×2×3×=.
8.直角　[解析] ∵ccos A=b,∴由正弦定理得sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
整理得sin Acos C=0,
∵sin A≠0,
∴cos C=0,即C=90°,则△ABC为直角三角形.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin C表示为关于C的三角函数,再结合C的取值范围求最大值.
解:(1)由a=,b2+c2=3+bc,得==,
即cos A=,又∵A∈(0,π),∴A=.
(2)由正弦定理,得b=sin B=2sin B,
∴bsin C=2sin Csin B=2sin Csin=2sin C=sin2C+sin Ccos C=sin 2C-cos 2C+=sin+.∵0