2020版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版Word版

第11讲　函数与方程


1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使　　　　的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点. 
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与　　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　. 
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有　　　　,那么函数y=f(x)在区间　　　　内有零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个　　　　也就是方程f(x)=0的根. 
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系

Δ>0
Δ=0
Δ0)
的图像



与x轴的交点
　　　 
　　　 
无交点
零点个数
　　　 
　　　 
　　　 


常用结论
1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.
2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.


题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是　　　　. 
2.[教材改编] 如果函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n=　　　　. 
3.[教材改编] 函数f(x)=x3-2x2+x的零点是　　　　. 
4.[教材改编] 若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).
5.函数f(x)=x+的零点个数是　　　　. 
6.函数f(x)=x2-3x的零点是　　　　. 
7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是　　　　. 
8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是　　　　. 

探究点一　函数零点所在区间的判断
例1 (1)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)已知函数f(x)=lg x+x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n=　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
变式题 [2018·南昌模拟] 函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
探究点二　函数零点个数的讨论
例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-+x=f,当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 (　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数f(x)=sin2x+-log3πx的零点个数为　　　　. 
 
 
[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.
变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数f(x)=-2e-x的零点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函数f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为　　　　. 

探究点三　函数零点的应用
例3 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则 (　　)
A.f(b)