2020版高考数学大一轮复习第14讲导数与函数的单调性学案理新人教A版Word版

第14讲　导数与函数的单调性


函数的单调性与导数

导数到
单调性
单调递增
在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调　　　 
单调递减
在区间(a,b)上,若f'(x)0时,函数f(x)为增函数;f'(x)0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以f(x)=x-ln x>1>0,所以x>ln x.
3.(-∞,0)　[解析] ∵y'=3ax2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,
∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax2≤0恒成立,
∴a≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数,
∴a0,所以函数f(x)=ln x-在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得1,解得x0　a=0　a0;当xx2.
则当x>0时,f'(x)>0;
当ln(-2m)-10.
故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.
综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
当-3×12+2×1+a=5+a.
因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,
可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,
所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.
例2　[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)0,得x>;由g'(x)0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x,
∴f'(x)=2x+-3=,
由f'(x)>0,得00,
∴当x>2时,f'(x)>0,
即函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.
∵10,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)