2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形高考专题突破三

高考专题突破三　高考中的三角函数与解三角形问题题型一　三角函数的图象和性质例1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝5＝5sin，所以函数的最小正周期T＝＝π.(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．跟踪训练1 (2018·“七彩阳光联盟”期初联考)已知f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)，求：(1)f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解　由题意得f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴f(x)∈[0,3]．故f(x)的值域为[0,3]．题型二　解三角形例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解　(1)∵sin A＋cos A＝0，∴tan A＝－，又0<A<π，∴A＝，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即28＝4＋c2－2×2c×，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴16＝28＋4－2×2×2×cos C，∴cos C＝，∴CD＝＝＝，∴CD＝BC，∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝2，∴S△ABD＝S△ABC＝.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．跟踪训练2 (2018·浙江省第二次联盟校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)sin C.(1)求B；(2)若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为6，求b.解　(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝ac＝6，得ac＝24.由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28.所以b＝2.  题型三　三角函数和解三角形的综合应用例3 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B(tan C－1)＝＋tan C.(1)求角A的大小；(2)若a＝，a≤b，求b－c的取值范围．解　(1)由tan B(tan C－1)＝＋tan C得tan B＋tan C＝(tan Btan C－1)，∴tan(B＋C)＝＝－，tan A＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)由正弦定理得＝＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，b－c＝2sin B－sin C＝2sin B－sin＝sin B－cos B＝sin.∵a≤b，∴≤B<，≤B－<，∴b－c＝sin∈.思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3 (2018·嘉兴市教学测试)已知函数f(x)＝cos＋(sin x＋cos x)2.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值．解　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x＋(1＋sin 2x)＝sin＋，所以f(x)的最大值为1＋，最小正周期T＝π.(2)因为f＝sin＋＝cos＋＝，所以cos＝0，又C∈(0，π)，所以C＝.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C可得b2－2b－3＝0，因为b>0，所以b＝3.1．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解　(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.2．(2018·温州适应性测试)已知函数f(x)＝4cos x·cos＋1.(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解　(1)f＝4cos cos＋1＝4coscos ＋1＝4××＋1＝－2.(2)f(x)＝4cos xcos＋1＝4cos x＋1＝－2cos2x－sin 2x＋1＝－sin 2x－cos 2x＝－2sin.所以f(x)的最小正周期为π，当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)时，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．3．(2018·浙江省金华市名校第二次统练)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝c2.(1)证明：＋＝；(2)若＝，求tan B.(1)证明　根据三角形的面积公式及2S＝c2得，absin C＝c2，∴根据正弦定理得，sin Asin B＝sin C.又在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，∴sin Asin B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，两边同时除以sin Asin B，得＋＝1.①根据正弦定理＝＝，得sin A＝，sin B＝，代入①化简得，＋＝.(2)解　由＝，得c2－a2＝bc－b2，根据余弦定理得，cos A＝＝，又A∈(0，π)，∴sin A＝，又由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin B＝cos B＋sin B，故tan B＝.4．(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知f(x)＝cos x·sin＋1.(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sin Asin C＝sin2B，求a－c的值．解　f(x)＝cos xsin＋1＝cos x＋1＝sin 2x－×＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋.(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和.(2)由f(B)＝sin＋＝，得sin＝1.又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝，由sin Asin C＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2.在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0.    5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．解　(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，亦即sin Acos C＋sin Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C，则sin Asin C－cos Asin C＝sin C.又sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.在△ABC中，0°<A<180°，则－30°<A－30°<150°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.由正弦定理，得＝＝.设a＝7x，c＝5x(x>0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsin B＝10.    6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t＝2sin＋t，f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sin＋t＝0，∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得－≤x≤＋，k∈Z，故f(x)的单调增区间为，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin－1＝2sin－1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，根据图象(图略)可知，k＝－1或1－<k≤＋1.故实数k的取值范围是{－1}∪(1－，＋1]．