2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形5.4第1课时

§5.4　简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.



1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？
提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P127T2]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．[P146A组T4(2)]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三　易错自纠
5.＝ .
答案　
解析　原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
6．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
7．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
8．化简：＝ .
答案　4sin α
解析　＝＝＝4sin α.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一　和差公式的直接应用
1．(2018·嘉兴检测)sin215°－cos215°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)
＝－cos 30°＝－，故选C.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
4．计算的值为 ．
答案　
解析　＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二　和差公式的灵活应用


命题点1　角的变换
例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案　
解析　依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin＝， 则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　设θ＝－α，则2θ＝－2α，∴2α＋＝π－2θ，
∴cos＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝2sin2θ－1
＝－1＝－.
命题点2　三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°
＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
4．已知α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选A.
5．(2018·绍兴一中期中)已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　由sin α＝＋cos α可得sin α－cos α＝，
即sin＝，可得sin＝>0，
又α∈，则α－∈，
可得cos＝＝，
则＝
＝＝－2cos
＝－，故选A.
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.



7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α