2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第八节解三角形的综合应用

第八节解三角形的综合应用


1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))

2．方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))
3．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．
[小题体验]
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.
答案：50
2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.
答案：5

易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
[小题纠偏]
1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.
答案：130°
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
所以∠CBA＝45°，
而β＝30°，
所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°.
答案：北偏西15°

　
[典例引领]
　(2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.
解析：设塔高AB＝h，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝h，
在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，
由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos 60°，
即3h2＝400＋h2－20h，
解得h＝10.
答案：10
[由题悟法]
求解高度问题应注意的3个问题
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[即时应用]
为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.
解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，
则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.
在△BCD中，由正弦定理得，
BC＝＝＝20.
所以EF＝20，
在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF
＝20×＝20，
所以AB＝AF＋BF＝(20＋1)m.
答案：20＋1
　
[锁定考向]
研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
常见的命题角度有：
(1)两点都不可到达；
(2)两点不相通的距离；
(3)两点间可视但有一点不可到达．　　　 　
[题点全练]
角度一：两点都不可到达
1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A，B之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.

解析：在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.
在△BCD中，∠BDC＝∠ADB＋∠ADC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，
∴由正弦定理，＝，
解得BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3＋－2×××＝5，∴AB＝.
答案：
角度二：两点不相通的距离
2．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m.
解析：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
所以AB＝200 (m)．
即A，B两点间的距离为200 m.
答案：200
角度三：两点间可视但有一点不可到达
3．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.
解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
所以AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
答案：20
[通法在握]
求距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
[演练冲关]
1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.
解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.
答案：50
2．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.
解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
在△AMB中，由正弦定理，
得＝，
解得BM＝30.
答案：30
　
[典例引领]
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[由题悟法]
解决测量角度问题的3个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
[即时应用]
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．

解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，解得BC＝20.
由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．
解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以 ∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：南偏西80°
2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.

解析：设山高CD为x，
在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝x.
而AB＝AD－BD＝(－1)x＝100.
解得x＝＝50(＋1)．
答案：50(＋1)
3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．
解析：根据题意画出图形，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40.
根据余弦定理，
得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝402＋(40)2－2×40×40×
＝400(8＋4)＝400(＋)2，
∴AC＝20(＋)．
故所求航行的路程为20(＋)海里．
答案：20(＋)
4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝x km
则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
因为x＞0，所以x＝－1.
答案：－1
5.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.

解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km)．
答案：3
6．(2018·天一中学检测)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，
则BD＝200－80x，BE＝50x，
所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos 60°整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)，所以当x＝时y2最小．
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案：10
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为________km/h.

解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
答案：6

3．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿的距离为________海里．
解析：由题意可知CD＝40，∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，
∴∠CAD＝45°.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
∴AD＝20，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BD＝CD＝40.
在△ABD中，由余弦定理，
得AB＝ ＝20.
故A，B两处岛屿的距离为20海里．
答案：20
4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：50
5．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为________．
解析：由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，
再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.
则cos A＝＞0，
因为0＜A＜π，所以0＜A＜.
又a为最大边，所以A＞.
因此角A的取值范围是.
答案：
6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是________km.
解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点，由题意知AM＝8×＝2(km)，BN＝12×＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos 120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝(km)．
答案：
7．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．

解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
所以AC＝·sin∠CEA＝20 m.
所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.
因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为＝0.6 m/s.
答案：0.6
8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝＝＝50(－)(m)．
在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝＝＝－1.
由题图知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
答案：－1
9．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200 m，斜边AB＝400 m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.
(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；
(2) 设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．
解：(1)依题意得BD＝300，BE＝100.
在△ABC中，cos B＝＝，所以B＝.
在△BDE中，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2×300×100×＝70 000，
所以DE＝100.
答：甲、乙两人之间的距离为100 m.
(2)由题意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ.
在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ.
在△BDE中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以y＝＝，0＜θ＜，
所以当θ＝时，y有最小值50.
答：甲、乙之间的最小距离为50 m.
10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C处，且与岛A相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B处追上．
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值．
解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝10×2＝20，AC＝12，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB
＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，
解得BC＝28，
所以该军舰艇的速度为＝14海里/小时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
即sin α＝＝＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)

解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650

2．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l1，l2，公园管理中心位于点O正南方2 km l1上的A处，现计划在l2即点O北偏东45°方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心．
(1)若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2 km，求OB长度的取值范围；
(2)为了方便市民活动，拟在l1，l2上分别选点M，N，修建一条小路MN.因环境需要，以O为圆心， km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M，N的位置，使M，N之间的距离最短．
解：(1)在△ABO中，OA＝2，OB＝x，∠AOB＝135°，
根据余弦定理得，AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 135°，
∴22＋x2－2×x×2×≤(2)2，
即x2＋2x－16≤0，解得－4≤x≤2，
∵x≥0，∴0≤x≤2，
故OB长度的取值范围为[0,2 ]．
(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连结OC，则OC⊥MN.
设OM＝a，ON＝b，MN＝c，
在△OMN中，∵MN·OC＝·OM·ON·sin 135°，
∴·c＝·ab，即c＝ab，
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos 135°＝a2＋b2＋ab≥(2＋)ab＝(2＋)c，解得c≥2＋，
当且仅当a＝b＝时，c取得最小值2＋.
∴M，N与点O的距离均为 km时，M，N之间的距离最短，最短距离为(2＋)km.

命题点一　简单的三角恒等变换
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________.
解析：tan＝tan＝＝，
解得tan α＝.
答案：
2．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
答案：3
3．(2017·江苏高考)若tan＝，则tan α＝________.
解析：tan α＝tan
＝＝＝.
答案：
4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
5．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝，则cos 2α＝________.
解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
答案：
6．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解：(1)因为cos B＝，0＜B＜π，
所以sin B＝ ＝ ＝.
由正弦定理知＝，
所以AB＝＝＝5.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos Bcos＋sin Bsin.
又cos B＝，sin B＝，
故cos A＝－×＋×＝－.
因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.
因此，cos＝cos Acos＋sin Asin
＝－×＋×＝.
7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以 tan 2α＝＝－.
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
命题点二　解三角形
1．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．

解析：如图，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
故4a＋c的最小值为9.
答案：9
2．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案：　3
3．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，
∴cos A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝ ＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知＜∠B＜π，所以0＜∠A＜.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
5．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos C＝＝ ＝.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.
6．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，
由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又因为bsin A＝acos，
所以asin B＝acos，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因为a＜c，所以cos A＝ .
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.

7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
命题点三　三角综合问题
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当cos x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝时，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
2．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.
因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
3．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
解：(1)由余弦定理及题设得，
cos B＝＝＝.
又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.
则cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos.
因为0＜∠A＜，
所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.