2020届高考数学一轮复习：课时作业18《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含解析) 练习

课时作业18　任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．给出下列四个命题：

①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．

其中正确的命题有(　C　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　A　)

A．   B．

C．   D．

解析：点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.

3．(2019·长春调研)已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　D　)

A．(1，)   B．(，1)

C．(，)   D．(1,1)

解析：设P(x，y)，则sinα＝＝sin，∴y＝1.

又cosα＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．

4．若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　C　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．

5．已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是(　D　)

A．若α，β是第一象限的角，则cosα＞cosβ

B．若α，β是第二象限的角，则tanα＞tanβ

C．若α，β是第三象限的角，则cosα＞cosβ

D．若α，β是第四象限的角，则tanα＞tanβ

解析：如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sinα＞sinβ时，tanα＞tanβ.

6．(2019·福建莆田第二十四中学月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　C　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：设扇形的中心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得所以θ＝3，即该扇形中心角的弧度数是3.故选C．

7．角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝(O为坐标原点)，则m－n等于(　A　)

A．2   B．－2

C．4   D．－4

解析：因为角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα＜0，所以角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m＜0，n＜0，又|OP|＝，

所以所以

故m－n＝2.故选A．

8．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是S1＝S2__.

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，

根据切线的性质知OA⊥AP，

∴S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，

∴S1＝S2恒成立．

9．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝－　.

解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，

∴cosα＝＝－，

解得x＝或x＝－(舍去)，

∴P，∴sinα＝－，∴tanα＝＝，

则＋＝－＋＝－.

10．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为　.

解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，

则＝，∴α＝.

∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

11．(2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，则cosθ＋sinθ的取值范围是(1， ]　.

解析：角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，

∴r＝，cosθ＝＝，

sinθ＝＝，

∴cosθ＋sinθ＝＋＝＝＝＝＝.

∵x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，

∴1＜cosθ＋sinθ≤.

故cosθ＋sinθ的取值范围是(1， ]．

12．(2019·贵州贵阳模拟)设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是②③__(填写序号)．

①cos(A＋B)＝cosC；

②cos＝sin；

③sin(2A＋B＋C)＝－sinA．

解析：因为A，B，C是△ABC的内角，

所以A＋B＋C＝π，＝.

所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，

cos＝cos＝sin，sin(2A＋B＋C)＝sin(A＋π)＝－sinA．故②③恒成立．

13．角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα＝－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ＝－2.对于下列结论：

①P；②|PQ|2＝；③cos∠POQ＝－；④△POQ的面积为.其中正确结论的编号是(　B　)

A．①②③   B．①②④

C．②③④   D．①③④

解析：因为tanα＝－，α为钝角，

所以sinα＝，cosα＝－，

又因为P，

所以P，所以①正确；

同理，Q，

所以|PQ|2＝，所以②正确；

由余弦定理得cos∠POQ＝－，所以③错误；

sin∠POQ＝，所以S△POQ＝×1×1×＝，所以④正确，故选B．

14．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sinα·cosβ＜0，则cosα·sinβ＝±　.

解析：由角β的终边与单位圆交于点，得cosβ＝，又由sinα·cosβ＜0知sinα＜0，

因为角α的终边落在直线y＝x上，

所以角α只能是第三象限角．

记P为角α的终边与单位圆的交点，

设P(x，y)(x＜0，y＜0)，

则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，

又由y＝x得x＝－，y＝－，

所以cosα＝x＝－.

因为点在单位圆上，

所以2＋m2＝1，得m＝±，

所以sinβ＝±.所以cosα·sinβ＝±.

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为(2－sin2,1－cos2)__．

解析：如图所示，

过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B．

因为圆心移动的距离为2，

所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，

则∠PCB＝2－，所以PB＝sin＝－cos2，

CB＝cos＝sin2，

设点P(xP，yP)，

所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，

所以＝(2－sin2,1－cos2)．

16．(2019·吉林、黑龙江两省八校联考)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是20__平方米．(结果保留整数，≈1.73)

解析：如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝6，

所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得CD＝6－3＝3.

由AD＝AO·sin＝6×＝3，

可得AB＝2AD＝2×3＝6.

所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×(6×3＋32)＝9＋4.5≈20(平方米)．