【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题16 任意角和弧度制及任意角的三角函数（含解析）

考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．设，则“”是“”的（  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（  ）A．1    B．2    C．3    D．43．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（    ）A．    B．    C．    D．4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米.（其中，）A．15    B．16    C．17    D．185．已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（    ）A． B．C． D．先，再，最后6．已知点和分别在角和角的终边上，则实数的值是（    ）A．-1 B．6C．6或-1 D．6或17．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则(      )A． B． C． D．8．设函数，若角的终边经过，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．49．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（　　）A． B． C． D．11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（   ）A． B．C． D．12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ）A． B． C． D．13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（  ）A．1 B． C． D．214．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则　　A．5    B．4    C．3    D．215．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。16．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.17．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．18．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．19．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则__________．20．在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________．21．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.22．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.23．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于两点，且满足，其中为锐角.（1）当为正三角形时，求； （2）当时，求.      考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．设，则“”是“”的（  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当,可以得到,反过来若，则或，所以为充分不必要条件，故选A.2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（  ）A．1    B．2    C．3    D．4【答案】A【解析】∵ 为的中点，∴.又∵三点共线，∴，得.∴扇形的面积为.故选A.3．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】设正方形的边长为，则扇形的半径为，，在直角三角形中，，所以， 所以，，又由，所以，，所以，扇形的面积为该点落在扇形内部的概率为所以,答案选A．4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米.（其中，）A．15    B．16    C．17    D．18【答案】B【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.5．已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（    ）A． B．C． D．先，再，最后【答案】A【解析】如图所示，因为直线与圆相切，所以，所以扇形的面积为，,因为，所以扇形AOQ的面积,即，所以，6．已知点和分别在角和角的终边上，则实数的值是（    ）A．-1 B．6C．6或-1 D．6或1【答案】B【解析】由题得，所以.当a=-1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，所以舍去.故选:B.7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则(      )A． B． C． D．【答案】D【解析】∵为角终边上一点，∴，∴．故选D．8．设函数，若角的终边经过，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】因为角的终边经过，所以，所以，则，故选C．9．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由题，当时, 所以复数在复平面所对应的点为在第三象限故选C．10．已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°，且α∈（），∴α∈（0，），联立，解得sinα．故选：A．11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选：A．12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，∴．则.故选：D．13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（  ）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由已知得，，，因为，所以，所以，，所以，当且仅当，时，取等号.14．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则　　A．5    B．4    C．3    D．2【答案】B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，可得，则．故选：B．15．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。【答案】【解析】设扇形的半径为，扇形的圆心角为，它的弧长为，，解得，，故答案为.16．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.【答案】【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由，得，由得.由可得. 该容器的容积为.故答案为：.17．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．【答案】①③【解析】如图，

设圆心为 P交圆于另一点，连接，则
当时， ，故①正确；在上为增函数，故②错误；
当时， 故③正确；
当时， 故④错误.故答案为①③．18．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．【答案】【解析】由三角函数的定义，r，可得：sinα，可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．故答案为：．19．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则__________．【答案】【解析】设角的终边与单位圆交点的横坐标为，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为，所以，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，，综上所述 .20．在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________．【答案】【解析】，∵，且点在第一象限，∴为锐角，∴的值是，故答案为：．21．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.【答案】【解析】∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P（a，b），∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．∵，可得：sinα+cosα，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα，可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，∴sin2α＝﹣2sinαcosα．故答案为：．22．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）时，，所以，     又，所以，即两点间的距离为.                                        （Ⅱ）依题意，，，                    所以，即函数关系为，                          当时，，所以，.23．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于两点，且满足，其中为锐角.（1）当为正三角形时，求； （2）当时，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵为正三角形，∴，∴．∴，，∴，∴，∴．（2）由题意得，且为第二象限角，∴，∴，∴．