2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章2第2讲　导数与函数的单调性

第2讲　导数与函数的单调性

1．函数的单调性与导数的关系

条件
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论
(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0，当x∈(a，b)时．
f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；
f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．
(2)f′(x)＞0(＜0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．
[提醒]　利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
答案：(1)×　(2)√
函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析：选D.因为f′(x)＝－sin x－1＜0.
所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
(教材习题改编)函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：
①f′(x)>0时，－10.
答案：(0，＋∞)
已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，
又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.
答案：3


　　　　　　利用导数判断(证明)函数的单调性
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．
【解】　(分类讨论思想)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在单调递减，
在单调递增．

导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>0，则当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)0时，f(x)在上单调递减，则2≥，即a≥.所以实数a的取值范围是(－∞，0]∪.

导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0(或