2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章5第5讲　利用导数研究含参数不等式

第5讲　利用导数研究含参数不等式


　　　　　　分离参数求参数范围
[典例引领]
(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)＝ln x.
(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；
(2)若对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)因为f(x)＝ln x.
所以g(x)＝f(x＋1)－x＝ln(x＋1)－x，x＞－1.
所以g′(x)＝－1＝.
当x∈(－1，0)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－1，0)上单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
所以g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝0.
(2)因为对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立．
所以在x＞0上恒成立，进一步转化为≤a≤.
设h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(1，e)时，h′(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0，所以h(x)≤.要使f(x)≤ax恒成立，必须a≥.另一方面，当x＞0时，x＋≥2，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，所以满足条件的a的取值范围是.

利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；
(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．　

　　　　　　等价转化法求参数范围
[典例引领]
函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；
(2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2a＋，f′(1)＝3－2a，
由题意f′(1)·＝(3－2a)·＝－1，
解得a＝.
(2)不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x≥－x＋a－.
令g(x)＝2ln x＋x－a＋，
则g′(x)＝＋1－＝＝，
则在区间(0，1)上，g′(x)0，函数g(x)为增函数．
由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，
得a≤4，
所以实数a的取值范围是(－∞，4]．

根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围．　

　　　　　　含全称与存在量词的不等式问题
[典例引领]
设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，
令g′(x)＜0得0＜x＜，
又x∈[0，2]，
所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以g(x)min＝g＝－，
又g(0)＝－3，g(2)＝1，
所以g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，
由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.
在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．
设h(x)＝x－x2ln x，
h′(x)＝1－2xln x－x，
令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.
即m(x)＝xln x在上是增函数，
可知h′(x)在区间上是减函数，
又h′(1)＝0，
所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；
当＜x＜1时，h′(x)＞0.
即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝1，
所以a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞)．

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．　

不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径
(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；
存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a.
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，
存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.
(3)f(x)＞g(x)恒成立F(x)min＞0.
(4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)max；　
②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)min；　
③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)min；　
④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)max.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)　　　 B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：选A.设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)