2021高考数学一轮复习学案：第四章4.5第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换 三角函数式的化简1．化简：＝________.答案　2cos α解析　原式＝＝2cos α.2．当π<α<2π时，化简：＝________.答案　cos α解析　原式＝＝＝.∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.∴原式＝＝cos α.3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.答案　解析　方法一(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－cos 2β＝－cos 2β＝.4．化简：－2cos(α＋β)．解　原式＝＝＝＝＝＝.思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． 三角函数的求值命题点1　给角求值例1　(1)cos ·cos ·cos＝________.答案　－解析　cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.(2)＝________.答案　解析　＝＝＝＝.命题点2　给值求值例2　(1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.答案　解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos  2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.(2)若cos＝，π<x<π，则＝________.答案　－解析　∵<x<，∴<＋x<2π.又cos＝，∴sin＝－，∴cos x＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－.∴sin x＝－，tan x＝7.∴＝＝＝－.命题点3　给值求角例3　已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.答案　　解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又α，β为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.思维升华　(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练　(1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)A.  B.  C.  D．1＋答案　C解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.答案　解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈，sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，sin α＝，∴＝＝＝.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．答案　－解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.